Deux remarques à propos de la propriété de recouvrement fini

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Cette note est consacrée à quelques compléments à mon article [6], que le lecteur est supposé avoir sous les yeux, et qui traite de la propriété de recouvrement fini, de Keisler. Je rappelle seulement ici que:

a) La définition originale est la suivante: une théorie complète T n'a pas la p.r.f. si à toute formule f(x, ȳ) de son langage est associé un entier n, de sorte que tout ensemble (fini!) {f(x, ā₁), …, f(x, ā_s)}, où les ā_i; sont des paramètres extraits d'un modèle M de T, soit consistant dès que ses parties à n éléments le sont. Une théorie sans p.r.f. satisfait done un renforcement du théorème de compacité; elle est en ce sens plus simple qu'une théorie avec p.r.f.

b) T n'a pas la p.r.f. si et seulement si elle est stable (i.e. tout type sur un modèle M de T est définissable; à toute formule f(x, ȳ) est associée une formule g(ȳ, ā) à paramètres dans M, telle que les de M pour lesquels f(x, ) est dans le type en question soient précisément ceux qui vérifient g(ȳ, ā)), et si en outre on peut exprimer par une formule sur le paramètre ā que g(ȳ, ā) définit un f-type consistant: à f₁(x, ȳ), …, f_s(x, ȳ), g₁(ȳ, ), …, g_s(ȳ, ) est associé une formule h(), telle que pour tout ā de tout modèle M de T, ā satisfasse h si et seulement si l'ensemble de tous les f_i(x, ), où est dans M et satisfait g_i(ȳ, ā), est consistant.