13 - Verallgemeinerte Biasinvarianten und ihre Berechnung

Summary

Abstract. The bias-invariant was derived from congruences of the second homology of a 2-complex modulo spherical elements and lead to distinctions of homotopy types in cases where the (abelian) fundamental group and the Euler characteristic coincide.

But, in general, the determination of the second homotopy group and of its image under the Hurewicz map are undecidable. We hence generalize the bias construction to congruences modulo H₂-mages of coverings which correspond to characteristic subgroups of the fundamental group.

In the case of the commutator subgroup, we get computable invariants for distinctions of homotopy types, where it may be impossible to calculate the classical bias moduli.

EINLEITUNG

Die Unterscheidung verschiedener Homotopietypen von 2-Komplexen K, L mit gleichem, endlich abelschem π₁ und minimaler Eulerscher Charakteristik durch den Unterzeichneten und Sieradski geschah durch ein Kongruenzargument modulo sphärischer Elemente in den 2. Homologiegruppen: Nicht immer gibt es eine (stetige) Abbildung K → L, die in π₁ und H₂ Isomorphismen induziert (Homologieäquivalenz). Allgemein kann man fragen, wann sich ein Isomorphismus von H₂(π₁) zu einem geometrisch induzierten Isomorphismus der 2. Homologie der Komplexe hochheben läβt und erhält die sogenannte Biasinvariante (§2), siehe Dyer und Latiolais. Für deren praktische Berechnung entsteht jedoch die Aufgabe, aus den Komplexen, beziehungsweise aus von ihnen abgelesenen π₁-Präsentationen, die Untergruppe Σ₂ der spharischen Zyklen in H₂(K), das heiβt, das π₂-Bild zu bestimmen. Tatsächlich liegt hier ein im allgemeinen unentscheidbares Problem vor.