Soit $G$ le groupe $\text{GL}\,\left( N,\,F \right)$, où $F$ est un corps localement compact et non archimédien. En utilisant la théorie des types simples de Bushnell et Kutzko, ainsi qu'une idée originale d'Henniart, nous construisons des pseudo-coefficients explicites pour les représentations de la série discrète de $G$. Comme application, nous en déduisons des formules inédites pour la valeur du charactère d'Harish- Chandra de certaines telles représentations en certainséléments elliptiques réguliers.

Soit $G$ un groupe réductif $p$-adique connexe. Nous effectuons une décomposition spectrale sur $G$ à partir de la formule d’inversion de Fourier utilisée dans ‘Une formule de Plancherel pour l’algèbre de Hecke d’un groupe réductif $p$-adique’, V. Heiermann, Commun. Math. Helv.76 (2001), 388–415. Nous en déduisons essentiellement qu’une représentation cuspidale d’un sous-groupe de Levi M appartient au support cuspidal d’une représentation de carré intégrable de $G$ si et seulement si c’est un pôle de la fonction $\mu$ de Harish-Chandra d’ordre égal au rang parabolique de M. Ces pôles sont d’ordre maximal. Plus précisément, nous montrons que cette condition est nécessaire et que sa suffisance équivaut à une propriété combinatoire de la fonction $\mu$ de Harish-Chandra qui s’avère être une conséquence d’un résultat de E. Opdam. En outre, nous obtenons des identités entre des combinaisons linéaires de coefficients matriciels. Ces identités contiennent des informations sur le degré formel des représentations de carré intégrable ainsi que sur leur position dans la représentation induite.

Let $G$ be a reductive connected $p$-adic group. With help of the Fourier inversion formula used in ‘Une formule de Plancherel pour l’algèbre de Hecke d’un groupe réductif $p$-adique’, V. Heiermann, Commun. Math. Helv.76 (2001), 388–415, we give a spectral decomposition on $G$. In particular, we deduce from it essentially that a cuspidal representation of a Levi subgroup $M$ is in the cuspidal support of a square-integrable representation of $G$ if and only if it is a pole of Harish-Chandra’s $\mu$-function of order equal to the parabolic rank of $M$. These poles are of maximal order. In more explicit terms, we show that this condition is necessary and that its sufficiency is equivalent to a combinatorical property of Harish-Chandra’s $\mu$-function, which appears to be a consequence of a result of E. Opdam. We get also identities between some linear combinations of matrix coefficients. These identities contain information on the formal degree of square-integrable representations and on their position in the induced representation.

AMS 2000 Mathematics subject classification: Primary 22E50. Secondary 22E35; 11F70; 11F72; 11F85