Il est démontré par Mentagui [ESAIM: COCV9 (2003) 297-315] que, dans le cas des espaces de Banach généraux, la convergenced'Attouch-Wets est stable par une classe d'opérations classiques del'analyse convexe, lorsque les limites des suites d'ensembles et defonctions satisfont certaines conditions de qualification naturelles. Cecitombe en défaut avec la slice convergence. Dans cet article, nousétablissons des conditions de qualification uniformes assurant lastabilité de la slice convergence et de la slice convergence duale par lesmêmes opérations, dont le rôle est fondamental en optimisationconvexe. Nous obtenons comme conséquences certains résultats clés destabilité de l'épi-convergence établis par Mc Linden et Bergstrom [Trans. Amer. Math. Soc.286 (1981) 127-142] en dimension finie. Comme application, nousprésentons un modèle de convergence et de stabilité recouvrant unelarge classe de problèmes en optimisation convexe et en théorie de ladualité. Les éléments clés dans notre démarche sont l'analysed'horizon, les notions de quasi-continuité et d'inf-locale compacité desfonctions convexes, puis la bicontinuité de la transformation deLegendre-Fenchel relativement à la slice convergence et la sliceconvergence duale.