Pour chaque entier $d=2,3,4$, il existe un corps $F$ de dimension cohomologique $1$ et une surface de del Pezzo de degré $d$ sur $F$ sans zéro-cycle de degré $1$, en particulier sans point rationnel. Les démonstrations utilisent le théorème de Merkur’ev et Suslin, le théorème de Riemann-Roch sur une surface et la formule du degré de Rost.

We analyse the non-commutative space underlying the quantum group $\textrm{SU}_q(2)$ from the spectral point of view, which is the basis of non-commutative geometry, and show how the general theory developed in our joint work with Moscovici applies to the specific spectral triple defined by Chakraborty and Pal. This provides the pseudo-differential calculus, the Wodzciki-type residue, and the local cyclic co-cycle giving the index formula. The co-chain whose co-boundary is the difference between the original Chern character and the local one is given by the remainders in the rational approximation of the logarithmic derivative of the Dedekind eta function. This specific example allows us to illustrate the general notion of locality in non-commutative geometry. The formulae computing the residue are ‘local’. Locality by stripping all the expressions from irrelevant details makes them computable. The key feature of this spectral triple is its equivariance, i.e. the $\textrm{SU}_q(2)$-symmetry. We shall explain how this naturally leads to the general concept of invariant cyclic cohomology in the framework of quantum group symmetries.

AMS 2000 Mathematics subject classification: Primary 81R50; 19K33; 46L; 58B34

We study the fundamental groups of algebraic stacks. We show that these fundamental groups carry an additional structure coming from the inertia groups. We use this additional structure to analyse geometric/topological properties of stacks. We give an explicit formula for the fundamental group of the coarse moduli space. As an application, we find an explicit formula for the fundamental group of the geometric quotient of an arbitrary algebraic group action. Also, we use these additional structures to give a necessary and sufficient for an algebraic stack to be uniformizable (i.e. quotient of an algebraic space by a finite group action).

AMS 2000 Mathematics subject classification: Primary 14A20. Secondary 14F35; 14L30

Nous appelons polynôme quasi-ordinaire de Laurent un polynôme unitaire $f(Y)$ dont les coefficients sont des séries de Laurent à plusieurs variables et tel que son discriminant soit le produit d’un monôme de Laurent et d’une série entière de terme constant non-nul. Si la dérivée $\partial f/\partial Y$ rendue unitaire est encore quasi-ordinaire de Laurent—ce qui peut être toujours obtenu par changement de base—nous montrons que l’on peut mesurer le contact de ses facteurs avec ceux de $f$ en fonction d’invariants discrets de $f$ qui mesurent le contact entre ses racines, codés sous la forme de l’arbre d’Eggers–Wall. Tous les calculs sont faits en termes de chaînes et de cochaînes supportées par cet arbre. Ce travail constitue une généralisation de résultats connus pour les germes de courbes planes.

AMS 2000 Mathematics subject classification: Primary 32S25. Secondary 14M25