Partant du principe de conservation de la masse et du principe
fondamental de la dynamique, on retrouve
l'équation d'Euler nous permettant de décrire les modèles
asymptotiques de propagation d'ondes dans des eaux peu profondes
en dimension 1. Pour décrire la propagation des ondes en dimension
2, Kadomtsev et Petviashvili [ 15 (1970) 539] utilisent une perturbation
linéaire de l'équation de KdV. Mais cela ne précise pas si les
équations ainsi obtenues dérivent de l'équation d'Euler, c'est ce
que montrent Ablowitz et Segur dans l'article [J. Fluid Mech.92 (1979) 691–715]. On
insistera, de la même manière, sur le fait que les équations de
KP-BBM peuvent être aussi obtenues à partir de l'équation d'Euler,
et dans quelle mesure elles décrivent le modèle physique. Dans un
second temps, on reprend la méthode introduite dans l'article de
Bona et al. [Lect. Appl. Math.20 (1983) 235–267] dans lequel ils comparent les
solutions d'ondes longues en dimension 1, à savoir les solutions
des équations KdV et BBM, pour montrer ici que les solutions des
équations KP-II et KP-BBM-II sont proches sur un intervalle de temps
inversement proportionnel à l'amplitude des ondes. Du point de vue de la modélisation,
il sera clair, d'après la première partie, que seul le modèle
décrit par KP-BBM-II est bien posé, et comme du point de vue
physique, KP-II et KP-BBM-II décrivent les ondes longues de faible
amplitude lorsque la tension de surface est négligeable, il est intéressant de les comparer.
De plus, on verra que la méthode utilisée ici reste valable pour
les problèmes périodiques.