Courbes hyperelliptiques à multiplications réelles et une construction de Shih

Résumé

Soient $r$ et $p$ deux nombres premiers distincts, soit $K\,=\,\mathbb{Q}(\cos \,\frac{2\pi }{r})$ , et soit $\mathbb{F}$ le corps résiduel de $K$ en une place au-dessus de $p$. Lorsque l’image de $(2\,-\,2\,\cos \,\frac{2\pi }{r})$ dans $\mathbb{F}$ n’est pas un carré, nous donnons une construction géométrique d’une extension réguliere de $K\left( t \right)$ de groupe de Galois $\text{PS}{{\text{L}}_{2}}(\mathbb{F})$ . Cette extension correspond à un revêtement de ${{\mathbb{P}}^{1}}/k$ de « signature $\left( r,\,p,\,p \right)$ » au sens de [3, sec. 6.3], et son existence est prédite par le critère de rigidité de Belyi, Fried, Thompson et Matzat. Sa construction s’obtient en tordant la representation galoisienne associée aux points d’ordre $p$ d’une famille de variétés abéliennes à multiplications réelles par $K$ découverte par Tautz, Top et Verberkmoes [6]. Ces variétés abéliennes sont définies sur un corps quadratique, et sont isogènes à leur conjugué galoisien. Notre construction généralise une méthode de Shih [4], [5], que l’on retrouve quand $r\,=\,2$ et $r\,=\,3$.

Abstract

Let $r$ and $p$ be distinct prime numbers, let $K\,=\,\mathbb{Q}(\cos \,\frac{2\pi }{r})$ , and let $\mathbb{F}$ be the residue field of $K$ at a place above $p$. When the image of $(2\,-\,2\,\cos \,\frac{2\pi }{r})$ in $\mathbb{F}$ is not a square, we describe a geometric construction of a regular extension of $K\left( t \right)$ with Galois group $\text{PS}{{\text{L}}_{2}}(\mathbb{F})$ . This extension corresponds to a covering of ${{\mathbb{P}}^{1}}/k$ of “signature $\left( r,\,p,\,p \right)$” in the sense of [3, sec. 6.3], and its existence is predicted by the rigidity criterion of Belyi, Fried, Thompson and Matzat. Its construction is obtained by twisting the mod $p$ galois representation attached to a family of abelian varieties with real multiplications by $K$ discovered by Tautz, Top and Verberkmoes [6]. These abelian varieties are defined in general over a quadratic field, and are isogenous to their galois conjugate. Our construction generalises a method of Shih [4], [5], which one recovers when $r\,=\,2$ and $r\,=\,3$.