CLASSIFICATION DES IDEAUX A DROITE DE A₁(k)

Abstract

Les études récentes sur les idéaux á droite de $A_{1}\left(k\right),$ la premiére algébre de Weyl sur un corps algébriquement clos et de caractéristique nulle $k$, nous montrent que : pour tout idéal $I\neq 0$ á droite de $A_{1}(k)$, il existe $x\in Q\,{=}\,\ffrac( A_{1}( k)),$ et $V\in \mathcal{V}$ tels que : $I\,{=}\,x\mathcal{D}(R,V)$ o\`{u} $\mathcal{V}$ est l'ensemble des sous-espaces primairement décomposables de $k[t]\,{=}\,R$, et $\mathcal{D}( R,V)$ l'idéal á droite $\{ d\in A_{1}( k) /d( R) \subset V\}$. Dans cet article nous montrerons principalement que: pour tout $0\neq I$ idéal á droite de $A_{1} (k), \exists !n\in N,\exists ( x,\sigma ) \in Q^{\ast }\,{\times}\,\Aut_{k} ( A_{1} (k)) :I\,{=}\,x\sigma (\mathcal{D} (R,O (X_{n})))$, oú $X_{n}$ est la courbe d'algébre des fonctions réguliéres : $O (X_{n})\,{=}\,k+t^{n+1}k [t]$. La forme des idéaux décrite ci-dessus permet de voir dans une hypothése de Letzter et Makar-Limanov, pour deux courbes algébriques affines $X$ et $X^{\prime}$ on a : $\mathcal{D} (X) \simeq \mathcal{D} ( X^{\prime}) \Leftrightarrow \co \dim \mathcal{D} (X)\,{=}\,\co \dim \mathcal{D}( X^{\prime})$.