Quid des stratifications canoniques

Summary

Soit donné un compact K de Rⁿ qui est un stratifié de Whitney, dont les strates (en nombre fini) sont des variétés C^∞. Il est probablement démontra¬ble (1)^*, dans l'état actuel de la littérature, que pour presque toute projection linéaire Q : Rⁿ → R^Q, q < n, l'image B = Q(K) est elle-même un stratifié de Whitney dont les strates sont C^∞. De plus, l'application p : K → B, restriction de Q à K, est elle-même stratifiée : il existe une substratification (S) de (K) et une stratification (S') de B telle que l'application Q restreinte à toute strate X ∈ (S) de B est une submersion sur la strate-image Y = p{X) ∈ (S') de B. Le corang crg(X) = dimker(p) sur une strate (X) est constant sur X, et pour toute relation d'incidence X < dans (S), on peut obtenir crg(X) ≤ crg(Z) (c'est la condition de non-éclatement, vérifiée dès que la propriété A(p) est satisfaite pour tout couple de strates X < de (S)). Si on peut s'assurer que les directions (Q) qui satisfont à ces conditions forment un ouvert dense dans la grassmannienne, alors (en vertu du second lemme d'isotopie), le type topologique d'un morphisme stratifié p : К → B est stable par rapport aux petites variations de toute “bonne” projection p. Une telle condition est satisfaite si (K) est semi-analytique (et probablement sous-analytique?). Mais dans le cas où K est semi-algébrique, le théorème classique de Tarski-Seidenberg donne plus : quel que soit A semi-algébrique dans Rⁿ, même non compact, l'image P(A) est semi-algébrique pour toute projection p.