367 - THEORIE DES NOMBRES. – Sur la décomposition d'ua nombre cntier en facteurs radicaux.

Summary

Soient n, x deux nombres entiers quelconques; soient encore

les entiers inférieurs à n, mais premiers à n, et m le nombre de ces entiers. Enfin, soit p une racine primitive de l'équation

et supposons le nombre entier x décomposé d'une manière quelconque en facteurs radicaux, en sorte qu'on ait

ϕ(p), X (p), ϕ(p),… ω(p) étant des polynômes radicaux à coefficients entiers. Si parmi ces polynômes plusieurs se réduisaient à des diviseurs de l'unité, c'est-à-dire à des polynômes auxquels correspondrait la factorielle i, lour produit serait encore un diviseur de l'unité et, par conséquent, on pourra toujours admettre que, parmi les divers facteurs compris dans le second membre de la formule, un soul, ω(p), ost diviseur de l'unite. On pourrait meme, si l'on voulait, se débarrasser entièrement de ce facteur, en le réunissant à l'un des autres par voie de multiplication.

Soient maintenant

les nombres entiers qui représentent les facteurs premiers et distincts de n, en sorte qu'on ait

les exposants α, β γ,… étant eux-memes entiers; et posons

Les racines primitives de l'équation (r) pourront être représentées par les divers termes de la suite

et scront précisément les m racines de l'équation irréductible.