359 - THÉORIE DES NOMBRES. – Mémoire sur de nouvelles formules relatives à la théorie des polynômes radicaux, et sur le dernier théoreme de Fermat

Summary

Lorsqu'on veut faire servir à la démonstration du dernier théorème de Fermat la considération des polynômes complexes, on a deux problèmes distincts à résoudre. D'abord, comme l'a fort bien remarqué M. Liouville, on doit faire voir qu'un produit de polynômes complexes ne peut être décomposé en facteurs premiers que d'une seule manière; puis, en supposant ce principe établi, on doit en déduire le théorème de Fermat. Les observations de M. Liouville et celles que j'ai insérées moi-même dans le Compte rendu de la dernière séance prouvent la necessite d'attaquer ccs deux problèmes. Je commencerai par m'occuper du premier. Après quelques recherches, je suis parvenu à le ramenor à une question de maximum, ainsi qu'on le verra dans le paragraphe suivant.

§ II. – Sur la decomposition d'un polynôme radical en deux parties, dont l'une corresponde à une factorielle plus petite que l'unité.

Supposons que, p étant une racine primitive de l'équation binômo

on pose

α, β, γ, …, η étant des coefficients réels. Si ces coefficients s'éva nouissent tous, à l'exception du premier, le polynôme radical f(p) sera réduit à une quantité réelle a, et la factorielle correspondante au même polynôme sera représentée par a^m, m étant le nombre des entiers inférieurs à n, et premiers à n.