349 - CALCUL INTÉGRAL. – Sur les rapports et les différences qui existent entre les intégrales rectilignes d'un système d'équations différentielles et les intégrales complètes de ces mêmes équations

Summary

Dans la dernière séance, j'ai fait voir combien il importe de distiniguer les unes des autres et de comparer entre elles les diverses espéces d'intégrales qu'admet un système d'équations différentielles. J'ai ajouté que j'étais parvenu à établir des théorèmes généraux, à l'aide desquels on peut effectuer cette comparaison et déduire les intégrales complètes des intégrales produites par une intégration rectiligne. relative à l'une des variables considérée comme indépendante. Je vais aujourd'hui réaliser la promesse que j'avais faite de revenir sur cette question, et montrer comment on peut la résoudre, en s'appuyant sur la théorie des intégrales définies singulières et sur la considération des fonctions continues.

ANALYSE

Soient toujours

n+1 variables assujetties : 1° à vérifier n équations différentielles du premier ordre; 2° à varier ensemble par degrés insensibles et à prendre simultanément certaines valeurs initiales

En considérant l comme variable indépendante, on pourra présenter les équations différentielles données sous la forme

X, Y, Z … étant, ou des fonctions explicites des variables x, y, z, …, t, ou du moins des fonctions implicites dont les valeurs seront celles que fourniront les équations différentielles quand on y remplacera D_tx par la lettre X, D_ty par la lettre Y, …. Si ces mêmes équations fournissaient, pour X, Y, Z, …, plusieurs systémes de valeurs distinctes, alors, à chacun de ces systèmes correspondrait, commenous l'avons dit, un système particulier d'equations différentielles représentées par les formules (I).