223 - CALCUL INTÉGRAL. – Mémoire sur l'emploi des équations symboliques dans le Calcul infinitésimal et dans le calcul aux différences finies

Summary

Le Il^e Volume de mes Exercices de Mathematiques renferme un article sur l'analogie des puissances et des différences dans lequel, après avoir rappelé les travaux remarquables de M. Brisson, relatifs à cet objet, j'ai spécialement examiné l'emploi que l'on peut faire des caractéristiques D et Δ dans l'intégration des équations linéaires aux différences finies ou infiniment petites, mêlées ou non mêlées et à coefficients constants. Parmi les formules que j'ai, dans cet article, établies et démontrées en toute rigueur, celles qui so rapportent aux équations linéaires différentielles ou aux dérivées partielles se trouvaient déjà dans le Mémoire de M. Brisson. D'ailleurs, il suffit d'appliquer la notation du calcul des résidus aux diverses formules que j'avais obtenues pour en déduire les intégrales générates des équations linéaires et à coefficients constants, aux différences finies ou infiniment petites, sous la forme d'expressions symboliques très simples, et pour retrouver ainsi la formule que j'ai donnée dans le Volume déjà cité, page 213, ou les résultats du même genre donnés à Rome par M. l'abbé Tortolini.

Les formules que j'avais démontrées dans l'article ci-dessus mentionné renferment seulement des fonctions rationnelles des lettres caractéristiques D et Δ. Ces formules sont généralement vraies et subsistent dans tous les cas possibles. Mais on ne saurait en dire autant des formules auxquelles on parvient lorsqu'on développe ces fonctions en séries composées d'un nombre infini de termes, comme l'avait proposé M. Brisson, ou lorsqu'on fait entrer, avec cet auteur et avec Poisson, les lettres caractéristiques sous des signes d'intégration.