345 - CALCUL INTÉGRAL. – Considérations nouvelles sur les intégrales définies qui s'étendent à tous les points d'une courbe fermée, et sur celles qui sont prises entre des limites imaginaires

Summary

Les théorèmes généraux que j'ai donnés dans la séance du 3 aoút dernier, en considérant les intégrales definies qui s'étendent à tous les points d'une courb'e fermée, fournissent, comme j'en ai fait la remarque, la solution d'un grand nombre de questions importantes de Calcul infinitésimal, et même d'Analyse algébrique. Mais, en exposant ces théorémes, dont les applications sont déjà si étendues, je ne m'attendais pas à ce qu'ils fussent eux-mêmes compris comme cas particuliers dans d'autres théorèmes plus généraux dont les applications s'étendaient encore beaucoup plus loin. C'est pourtant ce qui arrive, et ceuxdont je vais entretenir un instant l'Académie me paraissent devoir contribuer notablement aux progrè;s de l'Analysc infinitésimale, puisqu'ils permettent d'établir avec la plus grande facilité une foule de propri7eacute;tés remarquables des transcendantes representées par les intégrales définies, et, par conséquent, d'une multitude de fonctions, parmi lesquelles sc trouvent comprises les fonctions elliptiques et les transcendantes abéliennes. La bienveillance avec laquelle les géomètres ont accueilli les résultats de mes précédents travaux sur cette matière me fait espérer que l'Académie me permettra d'entrer, à ce sujet, dans quelques détails.

Jusqu'ici, en considérant les intégrales définies qui se rapportent aux divers points d'une courbe fermée décrite par, un point mobile dont les coordonnées rectangulaires représentent la partie réelie d'une variable imaginaire x et le coefficient de dans cette variable,

j'avais supposé que, dans chaque intégrate, la fonction sous le signe reprenait précisément la même valeur lorsque, aprés avoir parcouru la courbe entière, on revenait au point de départ.