Triangulations

Summary

Introduction

Ces notes traitent de diverses questions liées à la triangulation des surfaces.

Ce sujet, à l'origine de la partie la plus élémentaire de la topologie, se révèle d'une richesse insoupçonnée. D'une part physiciens et mathématiciens en explorant la “gravité quantique” à deux dimensions en ont tiré des informations sur l'espace des modules des courbes algébriques. D'autre part un théorème de Belyi établit une équivalence entre courbes arithmétiques et recouvrements finis de la droite projective ramifiés aux images réciproques de trois points (0, 1 et ∞) de sorte qu'une décomposition de la sphère de Riemann en deux triangles peut être relevée en une triangulation caractéristique de la courbe. Il s'ensuit que le groupe de Galois Gal agit sur les triangulations (des surfaces orientables compactes) dont les sommets adjacents portent deux valeurs distinctes parmi trois possibles.

La combinatoire, la théorie des groupes à divers titres, la topologie et l'arithmétique semblent inextricablement mêlées.

On se bornera ici à décrire les aspects les plus élémentaires, accessibles aux auteurs, en mettant plutôt l'accent sur les points qui leur sont obscurs.

Que la théorie des groupes (finis ou plus généralement discrets) soit liée aux décompositions cellulaires trouve son origine dans l'interprétation graphique d'une présentation par générateurs et relations qui date au moins de Cayley (cf. le chapitre 8 du livre de Coxeter et Moser).