Bericht über Hecke Algebren und Coxeter Algebren eindlicher Geometrien

Summary

HECKE ALGEBREN

Seien Ω₁, Ω₂,…,Ω_n paarweise disjunkte Mengen, und sei I eine auf der Grundmenge definierte symmetrische und reflexive Relation. Eine Teilmenge F ⊂ Ω heisst eine Fahne, wenn für je zwei Elemente ω, τ, ∈ F die Beziehung to ω I τ besteht. Wir wollen das Tupel G = (Ω₁,…, Ω_n, I) eine Geometrie vom Rang rg(G) = n nennen, wenn die beiden folgenden Aussagen gelten:

(Gl) Aus to ω I τ und ω, τ ∈ Ω_ifur ein i folgt ω = τ.

(G2) Maximdle Fahnen haben n Elemente.

Im folgenden setzen wir voraus, dab das Tupel G eine Geometrie ist. Ist F eine Fahne von G, dann ist die Teilmenge

Ω_F = { ω ∈ Ω \ F | F ∪ {ω} Fahne }

die Grundmenge einer Geometrie vom Rang rg(G) - |F|, die wir die in der Fahne F abgeleitete Geometrie G_F nennen wollen.

Ähnlich ist für jede Teilmenge J ⊃ {1, 2,…, n} die Menge

die Grundmenge einer Geometrie vom Rang |J|, welche wir die Teilgeometrie vom Typ J nennen wollen. Zwei maximale Fahnen F und G der Geometrie G heissen i-benachbart, in Zeichen F ĩ G, wenn sie sich um höchstens ein Element aus Ω_i. unterscheiden, wenn also |F\G| = |G\F| ≥ 1 und G\F, F\G⊃Ω_i gilt. Offenbar ist die so definierte Relation der i-Nachbarschaft eine Äquivalenzrelation auf der Menge der maximalen Fahnen der Geometrie.