SUR LES COURBES POLAIRES D’UNE COURBE PLANE RÉDUITE

Abstract

This paper contains results on the structure of generic local polar curves $P(\tau)$ of a reduced germ of a complex analytic plane curve $C$. We first prove a decomposition theorem of the branches of $P(\tau)$ into bunches. By construction, all the branches in the same bunch have the same contact with all branches of $C$. It follows that the Puiseux expansions of all the branches of a given bunch coincide with that of a branch of $C$ up to an order depending upon the bunch. An initial part of these expansions is therefore independant of $\tau$. In the second part, we study to what extent the contact of the branches of $C$ with the branches of $P(\tau)$ determines the topological type of $C$. We build from these contacts a matrix which is determined by the topological type of $C$ and determines it. In an appendix, we explain how to recover, from the results of the first part, the L\^e--Michel--Weber theorem on the behaviour of polar curves in an embedded resolution of singularities of $C$. Cet article pr\'esente des r\'esultats sur la structure des courbes polaires locales g\'en\'eriques $P(\tau)$ d'un germe r\'eduit de courbe analytique complexe plane $C$. Nous d\'emontrons d'abord un th\'eor\`eme de d\'ecomposition en paquets des branches de $P(\tau)$. Par construction, toutes les branches d'un m\^eme paquet ont le m\^eme contact avec chacune des branches de $C$. L'ensemble de ces paquets est index\'e par un graphe qui ne d\'epend que de la topologie de la courbe $C$ donn\'ee. En cons\'equence, le d\'eveloppement de Puiseux de toutes les branches d'un m\^eme paquet de $P(\tau)$ coincide avec celui d'une branche de $C$ jusqu'\`a un ordre d\'ependant du paquet. Une partie initiale de ce d\'eveloppement est donc ind\'ependante de $\tau$. Dans la deuxi\`eme partie de ce travail, nous \'etudions dans quelle mesure le contact avec les branches de $C$ des branches de $P(\tau)$ d\'etermine le type topologique de $C$. Nous construisons \`a partir de tous ces contacts une matrice qui ne d\'epend que du type topologique de $C$ et le d\'etermine. Dans un appendice, nous montrons comment retrouver, \`a partir des r\'esultats prouv\'es dans la premi\`ere partie, le th\'eor\`eme de L\^e--Michel--Weber sur le comportement des polaires dans une r\'esolution plong\'ee des singularit\'es de $C$. E-mail: [email protected] 1991 Mathematics Subject Classification: 14H20, 32S10.