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Some applications of nearfields

Published online by Cambridge University Press:  20 January 2009

Helmut Karzel
Affiliation:
Institut für MathematikTechnische Universität MünchenArcisstr. 21D-8000 München 2
Günter Kist
Affiliation:
Institut für MathematikTechnische Universität MünchenArcisstr. 21D-8000 München 2
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Nearfields and near-rings are related to many other structures and needed for several representation theorems. Therefore it is important to gain knowledge about the structure of near-rings and nearfields and to find construction methods. The first examples of proper nearfields were constructed by L.E. Dickson 1905, they were finite. 30 years later H. Zassenhaus completely determined the finite nearfields his attention having been attracted to them by the study of certain permutation groups. By the axiomatization of Dickson's methods, H. Karzel succeeded in giving new examples of infinite nearfields. In the extensive generalization by J. Timm the so-called “Dicksonian processes” are the most important tool for constructions of nearfields and near-rings. The report (44) by H. Wähling is a summary of the results on nearfields obtained so far.

Type
Research Article
Copyright
Copyright © Edinburgh Mathematical Society 1980

References

REFERENCES

(1) Artzy, R., A Pascal theorem applied to Minkowski geometry, J. Geometry 3 (1973), 93105.CrossRefGoogle Scholar
(2) Benz, W., Permutations and plane sections of a ruled quadric, Ist. Naz. di Alia Matematica 5 (1970), 325339.Google Scholar
(3) Benz, W., Vorlesungen über Geometric der Algebren, (Berlin, Heidelberg, New York, 1973).CrossRefGoogle Scholar
(4) Dickson, L. E., Definitions of a group and a field by independent postulates, Trans. Amer. Math. Soc. 6 (1905), 198204.CrossRefGoogle Scholar
(5) Dickson, L. E., On finite algebras, Nachr. Akad. Wiss. Gottingen, Math.-Phys. Kl. II (1905), 358393.Google Scholar
(6) Ellers, E. and Karzel, H., Kennzeichnung elliptischer Gruppenräume, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 26 (1963), 5577.CrossRefGoogle Scholar
(7) Ellers, E. and Karzel, H., Endliche Inzidenzgruppen, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 27 (1964), 250264.CrossRefGoogle Scholar
(8) Heise, W., Minkowski-Ebenen gerader Ordnung, J. Geometry 5 (1974), 83.CrossRefGoogle Scholar
(9) Heise, W., and Karzel, H., Symmetrische Minkowski-Ebenen, J. Geometry 3 (1973), 520.CrossRefGoogle Scholar
(10) Heise, W., and Karzel, H., Laguerre- und Minkowski-m-Strukturen, Rend. 1st. Mat. Univ. Trieste 4 (1972), 19.Google Scholar
(11) Hotje, H., σ-Inzidenzgruppen, J. Geometry (to appear).Google Scholar
(12) Karzel, H., Bericht über projektive Inzidenzgruppen, Jber. Deutsch. Math.-Verein. 67 (1964), 5892.Google Scholar
(13) Karzel, H., Unendliche Dicksonsche Fastkörper, Arch. Math. 16 (1965), 247256.CrossRefGoogle Scholar
(14) Karzel, H., Inzidenzgruppen, Vorlesungsausarbeitung von I. Pieper und K. Sörensen, (Univ. Hamburg, 1965).Google Scholar
(15) Karzel, H., Normale Fastkörper mil kommutativer Inzidenzgruppe, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 28 (1965), 124132.CrossRefGoogle Scholar
(16) Karzel, H., Zusammenhänge zwischen Fastbereichen, scharf zweifach transitiven Permutationsgruppen und 2-Strukturen mil Rechtecksaxiom, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 32 (1968), 191206.CrossRefGoogle Scholar
(17) Karzel, H., Kinematic spaces, Symposia Mathematica. 1st. Naz. di Alta Matematica 11 (1973), 413439.Google Scholar
(18) Karzel, H., Symmetrische Permutationsmengen, Aequationes Math. 17 (1978), 8390.CrossRefGoogle Scholar
(19) Karzel, H., Einige neuere Beiträge zur Theorie der Inzidenzgruppen, (to appear).Google Scholar
(20) Karzel, H., and Kist, G., Burau-Inzidenzgruppen, (to appear).Google Scholar
(21) Karzel, H., and Kroll, H.-J., Gruppen von Projektivitäten in Zwei- und Hyper-belstrukturen, FU Berlin, LENZ-Festband (1976), 125134.Google Scholar
(22) Karzel, H., Kist, G. and Kroll, H.-J., Burau-Geometrien, Resultate der Mathematik 2 (1979), 88104.CrossRefGoogle Scholar
(23) Karzel, H., Sörensen, K. and Windelberg, D., Einführung in die Geometric (Göttingen, 1973).Google Scholar
(24) Kerby, W., On infinite sharply multiply transitive groups, Hamb. Math. Einzelschriften 6 (Göttingen, 1971).Google Scholar
(25) Kerby, W., Sharply 3-transitive groups of characteristic Ξ1 mod. 3, J. Algebra 32 (1974), 240245.CrossRefGoogle Scholar
(26) Kerby, W., Sharply 2- and 3-transitive groups with kernels of finite index, Aequa-tiones Math. 14 (1976), 137141.CrossRefGoogle Scholar
(27) Kerby, W. and Wefelscheid, H., Bemerkungen über Fastbereiche und scharf zweifach transitive Gruppen, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 37 (1972), 2029.CrossRefGoogle Scholar
(28) Kerby, W. and Wefelscheid, H., Über eine scharf 3-fach transitiven Gruppen zugeordnete algebraische Struktur, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 37 (1972), 225235.CrossRefGoogle Scholar
(29) Kerby, W. and Wefelscheid, H., Conditions of finiteness on sharply 2-transitive groups, Aequationes Math. 8 (1972), 287290.CrossRefGoogle Scholar
(30) Kerby, W. and Wefelscheid, H., The maximal sub near-field of a near-domain, J. Algebra 28 (1974), 319325.CrossRefGoogle Scholar
(31) Kerby, W. and Wefelscheid, H., Über eine Klasse von scharf 3-fach transitiven Gruppen, J. Reine Angew. Math. 268/269 (1974), 1726.Google Scholar
(32) Kist, G. P., Punktiert-affine Inzidenzgruppen und Fastkörpererweiterungen, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 44 (1975), 233248.CrossRefGoogle Scholar
(33) Kist, G. P., Kinematische punktiert-affine Inzidenzgruppen, Beiträge zur geometrischen Algebra: proceedings d. Symposiums über Geometrische Algebra vom 29.3.–3.4. 1976 in Duisburg hrsg. von H. J. Arnold… (Basel, Stuttgart, 1977), 179183.CrossRefGoogle Scholar
(34) Kühlbrandt, H., Scharf 2-fach transitive Permutationsmengen und Quasibereiche, (to appear).Google Scholar
(35) Osborne, J. M., Quadratic division algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 105 (1962), 202221.CrossRefGoogle Scholar
(36) Pokropp, F., Dicksonsche Fastkörper, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 30 (1967), 188219.CrossRefGoogle Scholar
(37) Pokropp, F., Isomorphe Gruppen und Fastkörperpaare, Arch. Math. 18 (1967), 235240.Google Scholar
(38) Schröder, E. M., Zur Theorie subaffiner Inzidenzgruppen, J. Geometry 3 (1973), 3169.CrossRefGoogle Scholar
(39) Timm, J., Zur Theorie der (nicht notwendig assoziativen) Fastringe, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 35 (1970), 1431.CrossRefGoogle Scholar
(40) Timm, J., Zur Konstruktion von Fastringen I, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 35 (1970), 5774.CrossRefGoogle Scholar
(41) Timm, J., Zur Theorie der Fastringkonstruktionen II, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 36 (1971), 1632.CrossRefGoogle Scholar
(42) Wähling, H., Darstellung zweiseitiger Inzidenzgruppen durch Divisionsalgebren, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 30 (1967), 220240.CrossRefGoogle Scholar
(43) Wähling, H., Invariante und vertauschbare Teilfastkörper, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 33 (1969), 197202.CrossRefGoogle Scholar
(44) Wähling, H., Bericht über Fastkörper, Jber. Deutsch. Math.-Verein. 76 (1974), 41103.Google Scholar
(45) Wähling, H., Automorphismen Dicksonscher Fastkörperpaare mit kleiner Dick-songruppe, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 44 (1975), 122138.CrossRefGoogle Scholar
(46) Wähling, H., Normale Fastkörper mit kommutativer bzw. zweiseitiger Inzidenz-gruppe, Math. Z. 147 (1976), 6578.CrossRefGoogle Scholar
(47) Wähling, H., Ein Zassenhauskriterium für unendliche Fastkörper, Arch. Math. 28 (1977), 255260.CrossRefGoogle Scholar
(48) Wähling, H., Projektive Inzidenzgruppoide und Fastalgebren, J. Geometry 9 (1977), 109126.CrossRefGoogle Scholar
(49) Wähling, H., Beispiel eines projektiven Fastkörpers mil nichtprojektiven Teilfast-körpern, Arch. Math. 28 (1977), 393394.CrossRefGoogle Scholar
(50) Wefelscheid, H., Die Automorphismengruppe der Hyperbelstrukturen, Beiträge zur geometrischen Algebra: proceedings d. Symposiums über Geometrische Algebra vom 29.3.–3 1976 in Duisburg hrsg. von H. J. Arnold… (Basel, Stuttgart, 1977), 347–343.Google Scholar
(51) Wefelscheid, H., Zur Charakterisierung einer Klasse von Hyperbelstrukturen, J. Geometry 9 (1977), 127133.CrossRefGoogle Scholar
(52) Zassenhaus, H., Kennzeichnung endlicher linearer Gruppen als Permutationsgrup-pen, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 11 (1936), 1740.CrossRefGoogle Scholar
(53) Über endliche Fastkörper, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 11 (1936), 187220.Google Scholar