Hostname: page-component-586b7cd67f-t7czq Total loading time: 0 Render date: 2024-11-24T03:36:17.927Z Has data issue: false hasContentIssue false

Über Das Verhalten Der Analytischen Abbildungen Riemannscher Flächen Auf Dem Idealen Rand Von Martin

Published online by Cambridge University Press:  22 January 2016

C. Constantinescu
Affiliation:
Mathematisches Institut, Rumänische Akademie
A. Cornea
Affiliation:
Mathematisches Institut, Rumänische Akademie
Rights & Permissions [Opens in a new window]

Extract

Core share and HTML view are not available for this content. However, as you have access to this content, a full PDF is available via the ‘Save PDF’ action button.

Es sei f eine meromorphe nichtkonstante Funktion im Kreise |z|, < 1. Die Theorie des Verhaltens von f auf dem Rande des Kreises wird von zwei bekannten Sätzen beherrscht: der Satz von Riesz-Lusin-Priwaloff-Frostman-Nevanlinna, auf Grund dessen eine Menge aus |z| = 1, für die die Winkelgrenzwerte von f in einer Menge der Kapazität Null liegen, vom Lebesgueschen Masse Null ist und der Satz von Fatou-Nevanlinna, welcher besagt, dass, falls die Funktion f beschränktartig ist, dann hat sie fast überall auf |z| = 1 Winkelgrenzwerte. In vorliegender Arbeit werden diese zwei Sätze auf folgende Weise verallgemeinert. An Stelle des Kreises |z| < 1 betrachten wir eine beliebige Riemannsche Fläche R mit Greenscher Funktion, und an Stelle der meromorphen Funktion f nehmen wir eine nichtkonstante analytische Abbildung von R in einer Riemannschen Fläche R′(R′ offen oder kompakt, mit oder ohne Greenscher Funktion). Es sei Δ, bzw. Δ′, der ideale Rand von R, bzw. R′, im Sinne von Martin [11]; wir werden im Abschnitt IV eine Teilmenge der Menge Δ und eine Abbildung von (f) in R′Δ′ definieren. Die Verallgemeinerung des Satzes von Fatou-Nevanlinna besteht in der Behauptung, dass, falls f eine Lindelöfsche Abbildung ist [6], so ist Δ-(f) von harmonischen Masse Null und die des Satzes von Riesz-Lusin-Priwaloff-Frostman-Nevanlinna darin, dass, wenn (A) eine polare Menge auf R′∪Δ′ ist, so ist die Menge A ⊂(f) vom harmonischen Masse Null.

Type
Research Article
Copyright
Copyright © Editorial Board of Nagoya Mathematical Journal 1960

References

Literatur

[1] Constantinescu, C. und Cornea, A., Über den idealen Rand und einige seiner Anwen-dungen bei der Klassifikation der Riemannschen Flächen, Nagoya Math. J., 13 (1958), 169233.Google Scholar
[2] Constantinescu, C. et Cornea, A., Comportement des transformations analytiques des surfaces de Riemann sur la frontière de Martin, Comptes Rendus, Paris, 249 (1959), 355357.Google Scholar
[3] Halmos, P., Measure Theory, D. Van Nostrand Company (1951).Google Scholar
[4] Heins, M., Riemann surfaces of infinite genus, Ann. of Math., 55 (1952), 296317.CrossRefGoogle Scholar
[5] Heins, M., On the Lindelöf principle, Ann. of Math., 61 (1955), 440473.CrossRefGoogle Scholar
[6] Heins, M., Lindelöfian maps, Ann. of Math., 62 (1955), 418446.Google Scholar
[7] Heins, M., On the principle of harmonic measure, Comm. Math. Helv., 33 (1959), 4758.Google Scholar
[8] Kjellberg, B., On the growth of minimal positive harmonic functions in a plane region, Arkiv för Mat., Bd. I, Nr. 25 (1950), 347351.Google Scholar
[9] Kuramochi, Z., Relations between harmonic dimensions, Proc. Japan Acad., 30 (1954), 576580.Google Scholar
[10] Kuramochi, Z., On the ideal boundaries of abstract Riemann surfaces, Osaka Math. J., 10 (1958), 83102.Google Scholar
[11] Martin, R. S., Minimal positive harmonic functions, Trans. Amer. Math. Soc, 49 (1941), 137172.Google Scholar
[12] Matsumoto, K., Remarks on some Riemann surfaces, Proc. Japan Acad., 34 (1958), 672675.Google Scholar
[13] Parreau, M., Sur les moyennes des fonctions harmoniques et analytiques et la classification des surfaces de Riemann, Ann. Inst. Fourier, 3 (1952) 103197.Google Scholar
[14] Pfluger, A., Theorie der Riemannschen Flächen, Springer Verlag (1957).Google Scholar
[15] Stoïlow, S., Leçons sur les principes topologiques de la théorie des fonctions analytiques, Deuxième édition, Gauthier Villars (1956).Google Scholar
[16] Tsuji, M., Remarks on my former paper “On an extension of Löwner’s theorem”, Comm. Math. Univ. St. Pauli, 4 (1955) 109110.Google Scholar