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Published online by Cambridge University Press: 24 October 2008
1. Die Fassung des lokalen Dimensionsbegriffes führt zu verschiedenen neuen, z. Teil schwierigen dimensionstheoretischen Strukturproblemen. In einer ganz natürlichen Weise ergeben sich dabei mehrere Gesichtspunkte je nach der Dimension des Raumes, in welchem die Gebilde eingebettet sind. Einer dieser Gesichtspunkte betrifft die n-dimens. Cantorschen Mannigfaltigkeiten (c.m.) in einem n-dimens. Raum; wir beginnen hier deren Untersuchung im einfachsten wesentlichen Fall—zweidimens. ebener Mannigfaltigkeiten. In dieser ersten Note werden wir beweisen, dass eine zweidimensionale c.m., welche von einer einzigen geschlossenen Kurve begrenzt wird, 1-dimensionale Mannigfaltigkeitsstellen dann und nur dann enthält, wenn die Begrenzungskurve keine einfache (Jordan-) Kurve ist. Damit wird eine Bedingung für das Auftreten 1-dimensionaler Mannigfaltigkeitsstellen gewonnen. Diese Stellen sind nämlich mit den nicht erreichbaren Randstellen des offenen Teiles der Mannigfaltigkeit identisch. Es ist bekannt, dass die hier behandelten speziellen c.m. noch schärfere Eigenschaften besitzen und deshalb sich mit viel schwächeren Begriffsbildungen erfassen lassen, nämlich unter dem Gesichtspunkt des Zusammenhangs im Kleinen. Demgegenüber sind die allgemeinen ebenen Mannigfaltigkeiten nicht erforscht und dort gelangt der lokale Dimensionsbegriff zu seiner Geltung. Die allgemeineren c.m. können ausserordentlich kompliziert sein, ja bereits im Falle, wo jeder Punkt der Mannigfaltigkeit ein 2-dimens. konzentrischer m.-Punkt ist. Die Gesichtspunkte, unter welchen sich solche c.m. behandeln lassen, sind vor allem der Zusammenhang einer ebenen c.m., die Anzahlihrer offenen Komponenten und insbesondere die Mehrfachheitihrer Punkte, je nach der (endl. oder unendlichen) Anzahl der nichtäquivalenten Folgen von c.m., welche einem 2-dimens.
† Vgl. meine Note “Über lokalen Dimensionsbegriff”.
‡ Von besonderem Interesse ist die Untersuchung der n-dimens. Flächen bzw. Cantorschen Mannigfaltigkeiten, welche in einem n + 1-dimensionalen Raum eingebettet sind. Vgl. meine 2-dimens. geschlossene Flächen betreffende Arbeit im selben Heft dieser “Proceedings”.
§ Einen Punkt P einer abgeschlossenen n-dimensionalen Menge E nennen wir eine k-dimensionale Mannigfaltigkeitsstelle von E falls 0 ≤ k ≤ n die grösste Zahl ist, so dass eine beliebig kleine n-dimensionale Cantorsche Maunigfaltigkeit in E existiert, welche P enthält. Ist P insbesondere mit dem Durchschnitt einer Folge solcher (n-dimens.) Cantorschen Mannigfaltigkeiten identisch, so nennen wir P einen regulären k-dimens. Mannigfaltigkeitspunkt (m.p.), anderenfalls heisst P irregulär. (Vgl. die unter † zitierte Note.)
† Für B − (Ā′ + Ā″). B könnteu wir anch B setzen: die Einschränkung ist rein beweistechnischer Art.
† Die Begrenzungen dieser beiden Komponenten müssten also K′. U (b 1) und K′. U (b 2) enthalten. Die Erfüllbarkeit dieser Bedingung für hinreichend kleine δ's ist sofort einleuchtend.