Descent on fibrations over P¹_k revisited

Abstract

Soient k un corps de nombres et f: X → P¹_k un k-morphisme surjectif de k-variétés projectives lisses, à fibre générique géométriquement intègre. Supposons que les fibres de f au-dessus d'un sous-ensemble Hilbertien de P¹(k) satisfont le principe de Hasse (resp. le principe de Hasse et l'approximation faible). Supposons que toutes les fibres géométriques de f ont au moins une composante de multiplicité un. Le rang de f est la somme des degrés des points fermés P dont la fibre X_P = f⁻¹(P) ne possède pas de composante de multiplicité un géométriquement intègre. Supposons le rang au plus égal à 2. Alors l'obstruction de Brauer–Manin au principe de Hasse (resp. à l'approximation faible) sur X est la seule. Dans des articles antérieurs nous n'avions obtenu ce résultat que sous des hypothèses plus fortes sur la nature des fibres. Le présent énoncé, obtenu grâce à une descente sur des variétés ouvertes, permet d'étudier des variétés données par des équations affines simples, sans calcul explicite d'un modè le projectif et lisse.