QUADRATISATION DE CERTAINES STRUCTURES DE POISSON

Abstract

On sait associer à certaines structures de Poisson sur ℝⁿ, de 1-jet nul en 0, des actions de ℝ² sur ℝⁿ, données par le ‘rotationnel’ de leur partie quadratique et un autre champ de vecteurs. Lorsque ces actions sont ‘non résonantes’ et ‘hyperboliques’, on montre que ces structures sont ‘quadratisables’, en ce sens qu'il existe des coordonnées dans lesquelles, elles sont quadratiques. Dans le cas de la dimension 3, nos résultats mènent à la ‘non-dégénérescence’ générique des structures de Poisson quadratiques à rotationnels inversibles.

We can associate with some Poisson structures defined on ℝⁿ with a zero 1-jet at zero, actions from ℝ² on ℝⁿ, given by the ‘curl’ of their quadratic part and another vector field. Assuming that those actions are ‘hyperbolics’ and without ‘resonances’, we give a normal form for those structures. On ℝ³, we prove that every quadratic Poisson structure with invertible curl, is generically ‘non degenerate’.