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Einkleidung der Mathematik in Schröderschen Relativkalkul

Published online by Cambridge University Press:  12 March 2014

Leopold Löwenheim
Leopold Löwenheim*
Affiliation:
Berlin-Lankwitz
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Bei dem Bestreben, die Mathematik zu logisieren, erschienen die von Russell u.a. entdeckten Paradoxieen als das größte Hindernis. Zu ihrer Überwindung wurde die Typentheorie von Russell aufgestellt, die aber auch in ihrer gemilderten Form die Mathematiker nicht befriedigt. Ich bin diesen Schwierigkeiten nie begegnet, und zwar deshalb nicht, weil logisieren für mich immer bedeutet hat: in Schröderschen Relativkalkul einkleiden.

Ich bedaure es aus mehr als einem Grunde schwer, daß man von dem eleganten Peirce-Schröderschen Kalkul abgewichen ist und die Peano-Russellschen Zeichen benutzt, in denen aus bestimmten (m.A.n. nicht stichhaltigen) Gründen die sonst selbstverständliche Harmonie und Schönheit der Mathematik preisgegeben wurde, wodurch die Forschung ziemlich einseitig in eine bestimmte Richtung gedrängt wurde (in der freilich Hochbedeutendes geleistet wurde) während beim Peirce-Schröderschen Kalkul auf Schönheit besonderer Wert gelegt und mit wunderbarer Instinktsicherheit gerade das mathematisch Bedeutsame und Fruchtbare getroffen wurde. Ich bin der Überzeugung, daß in Wissenschaft und Technik das Zweckmäßige immer auch zugleich das Schöne ist. Mit Russells Zeichen hätte ich manches nicht entdeckt, was ich gefunden habe, und besäße jedenfalls nicht meine grosse Kalkulfreudigkeit. Ungünstige Zeichen lähmen die Produktivität. Der heutige Logikkalkul entbehrt daher jeder Eleganz und Geschmeidigkeit, was ganz und gar nicht in der Natur der Sache liegt. Meine Bemühungen, bestimmte Teile des Kalkuls flüssiger, geschmeidiger zu handhaben, sind unbeachtet geblieben.

Type
Research Article
Information
The Journal of Symbolic Logic , Volume 5 , Issue 1 , March 1940 , pp. 1 - 15
Copyright
Copyright © Association for Symbolic Logic 1940

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References

1 Nur ein Teil davon ist veröffentlicht.

2 Siehe bes. die Arbeiten in den Mathematischen Annalen, Bd. 68 (1910), S. 169–207CrossRefGoogle Scholar; Bd. 73 (1913), S. 245–272; Bd. 79 (1919), S. 223–236; Sitzungsberichten der Berliner Mathematischen Gesellschaft, Bd. 12 (1913), S. 65–71Google Scholar.

3 Ein Aufbau der Mengenlehre wie z.B. der Fraenkelsche, der im Gegensatz hierzu keine Trennung von Elementen und Mengen macht, läßt sich gleichwohl wie alles mathematisch Berechtigte auch im Schröderkalkul logisieren. Dabei würden dann die Fraenkelschen Mengen als Elemente im Schröderkalkul zu betrachten sein und nicht als Mengen (uninäre Relative) des Schröderkalkuls.

4 Über Möglichkeiten im Relativkalkul, Mathematische Annalen, Bd. 76 (1915), S. 447–470CrossRefGoogle Scholar (siehe §4).

5 A.a.O. S. 456.

6 Ackermann, Wilhelm: Untersuchungen über das Eliminations problem der mathematischen Logik, Mathematische Annalen, Bd. 110 (1934), S. 390–413CrossRefGoogle Scholar.

7 Entsprechend habe ich a.a.O. S. 456 fgd. den Gebietekalkul Iogisiert.

8 Es ist nicht verboten, daß A Teilbereich von B ist. Meistens macht man darüber am besten keine Voraussetzung.

9 Als ich diese Tatsache a.a.O. S. 463 Z. 24 fgd. aussprach, hielt ich sie freilich für so banal, daß mir eine Veröffentlichung der obigen Ausfülirungen über Vertreter nicht nötig erschien.