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Indécidabilité des corps de courbe réelle

Published online by Cambridge University Press:  12 March 2014

Luc Bélair  and
Jean-Louis Duret
Luc Bélair
Affiliation:
Département de Mathématiques et Informatique, Université du Québec à Montréal, Montréal, Québec, H3C 3P8, E-mail:[email protected]
Jean-Louis Duret
Affiliation:
U. F. R. Structures et Matériaux, Université d'Angers, 49045 Angers Cedex., FranceE-mail:, [email protected]
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Extract

Nous dirons qu'un corps (commutatif) K est un corps de courbe réelle sur le corps k si et seulement si c'est une extension de k, ordonnable, finiment engendrée et de degré de transcendance 1 sur k, telle que k soit relativement algébriquement clos dans K. Un tel corps est le corps d'une courbe (plane) définie sur k. De plus si k est réel-clos, toute courbe définie sur k dont K est le corps, a un point régulier rationnel sur k; en effet soit I ⊂ k[X0,…, Xn] l'idéal d'une telle courbe Γ; on a donc: K = k[x0,…, xn] où x0,…, xn sont les classes d'équivalence de X0,…, Xn; (x0,…, xn) est un point régulier de Γ dans la clôture réelle de K, et par modèle-complétude, Γ a un point régulier rationnel sur k.

Notre but est d'étendre les résultats de Raphael Robinson [6] sur l'indécidabilité des corps de fractions rationnelles sur un corps ordonnable (dans le langage des corps). Comme lui, nous donnerons une méthode qui ne s'applique que lorsque le corps de base k est réel-clos, et une seconde méthode générate.

Type
Research Article
Information
The Journal of Symbolic Logic , Volume 59 , Issue 1 , March 1994 , pp. 87 - 91
Copyright
Copyright © Association for Symbolic Logic 1994

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References

[1]Duret, Jean-Louis, Sur la théorie élémentaire des corps de fonctions, this Journal, vol. 51 (1968), pp. 948–956.Google Scholar
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[5]Robert, Alain, Elliptic curves, Lecture Notes in Mathematics, vol. 326, Springer-Verlag, Berlin and New York.Google Scholar
[6]Robinson, Raphael, The undecidability of pure transcendental extensions of real fields, Zeitschrift für Matematische Logik und Grundlagen der Mathematik, vol. 10 (1964), pp. 275–282.Google Scholar