Hostname: page-component-586b7cd67f-l7hp2 Total loading time: 0 Render date: 2024-11-28T01:58:12.167Z Has data issue: false hasContentIssue false
  • English
  • Français

Stabilisation frontière de problèmes de Ventcel

Published online by Cambridge University Press:  15 August 2002

Amar Heminna
Amar Heminna*
Affiliation:
Institut de Mathématiques, USTHB, BP. 32, EL-Alia, 16111 Alger, Algérie ; [email protected].
Get access

Abstract

The problem of boundary stabilization for the isotropic linear elastodynamic system and the wave equation with Ventcel's conditions are considered (see [12]). The boundary observability and the exact controllability were etablished in [11]. We prove here the enegy decay to zero for the elastodynamic system with stationary Ventcel's conditions by introducing a nonlinear boundary feedback. We also give a boundary feedback leading to arbitrarily large energy decay rates for the elastodynamic system with evolutive Ventcel's conditions. A spectral study proves, finally, that the natural feedback is not sufficient to assure the exponential decay in the case of the wave equation with Ventcel's conditions.

Keywords

Élasticitéondesproblème de Ventcelcontrôlabilitéstabilisation.
Type
Research Article
Information
ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations , Volume 5 , 2000 , pp. 591 - 622
Copyright
© EDP Sciences, SMAI, 2000

Access options

Get access to the full version of this content by using one of the access options below. (Log in options will check for institutional or personal access. Content may require purchase if you do not have access.)

References

Alabau, F. et Komornik, V., Observabilité, controlabilité et stabilisation frontière du système d'élasticité linéaire. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math . 324 (1997) 519-524. CrossRef
Bendali, A. et Lemrabet, K., The effect of a thin coating on the scattering of a time-harmonic wave for the Helmholtz equation. SIAM J. Appl. Math . 56 (1996) 1664-1693. CrossRef
Bey, R., Heminna, A. et Lohéac, J.-P., Stabilisation frontière du système de l'élasticité. Nouvelle approche. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 330 (2000) 563-566. CrossRef
F. Bourquin, J.-S. Briffaut et M. Collet, On the feedback stabilization : Komornik's method, in Proc. of the 2nd international conference on active control in mechanical engineering. Lyon (1997).
H. Brezis, Opérateurs maximaux monotones et semi-groupes de contractions dans les espaces de Hilbert. North Holland, Amsterdam (1973).
R.F. Curtain et H.J. Zwart, An introduction to infinite dimensional linear systems theory. Springer-Verlag, Paris.
G. Duvaut et J.L. Lions, Les inéquations en mécanique et en physique. Dunod, Paris (1972).
A. Guesmia, Stabilisation frontière d'un système d'élasticité. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 324 (1997) 1355-1360.
A. Haraux, Semi-groupes linéaires et équations d'évolutions linéaires périodiques, Publications du laboratoire d'Analyse Numérique, 78011. Université Pierre et Marie Curie, Paris (1978).
A. Haraux, Systèmes dynamiques dissipatifs et applications. Masson, Paris (1991).
A. Heminna, Contrôlabilité exacte d'un problème avec conditions de Ventcel évolutives pour le système linéaire de l'élasticité. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 324 (1997) 195-200.
Heminna, A., Stabilisation de problèmes de Ventcel. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 328 (1999) 1171-1174. CrossRef
Horn, M.A., Implications of sharp trace regularity results on boundary tabilization of the system of linear elasticity. J. Math. Anal. Appl . 223 (1998) 126-150. CrossRef
T.J.R. Hughes et J.E. Marsden, Mathematical foundations of elasticity. Prentice - Hall Inc., Englewood Cliffs, New Jersey 07632.
L. Hörmander, Linear partial differential operators. Springer-Verlag, Baud (1969).
V. Komornik, Exact controllability and stabilization ; The multiplier method. Masson-John Wiley, Paris (1994).
Komornik, V., Stabilisation rapide de problèmes d'évolution linéaires. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 321 (1995) 581-586.
Lagnese, J.E., Boundary stabilization of linear elastodynamic systems. SIAM J. Control Optim. 21 (1983) 968-984. CrossRef
Lagnese, J.E., Uniform asymptotic energy estimates for solutions of the equations of dynamic plane elasticity with nonlinear dissipation at the boundary. Nonlinear Anal. 16 (1991) 35-54. CrossRef
I. Lasiecka et R. Triggiani, Uniform exponential energy decay of wave equations in a bounded region with $L_2(0, \infty ; L_2(\Gamma ))$ -feedback control in the Dirichlet boundary conditions. J. Differential Equations 66 (1987) 340-390.
J.P. LaSalle, Some extensions of Liapounov's second method (1960).
Lemrabet, K., Problème aux limites de Ventcel dans un domaine non régulier. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 15 (1985) 531-534.
K. Lemrabet, Étude de divers problèmes aux limites de Ventcel d'origine physique ou mécanique dans des domaines non réguliers. Thèse, USTHB, Alger (1987).
Lemrabet, K., Problème de Ventcel pour le système de l'élasticité dans un domaine de $\mathbb{R}^3$ . C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 304 (1987) 151-154.
J.L. Lions, Contr $\hat{o}$ labilité exacte, perturbation et stabilisation de systèmes distribués. Masson (1986).
J.L. Lions et E. Magenes, Problèmes aux limites non homogènes et leurs applications. Dunod, Paris (1968).
A. Samarsky et V. Andreev, Méthodes aux différences pour équations elliptiques. Éditions de Moscou (1978).
E. Sanchez-Palencia et D. Leguillon, Computations of singular problems and elasticity. R.M.A. Masson, Paris (1987).
R. Valid, La mécanique des milieux continus et le calcul des structures. Eyrolles, Paris (1977).
A.D Wentzell (Ventcel'), On boundary conditions for multidimensional diffusion processes. Theor. Probab. Appl. 4 (1959) 164-177.