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Sur le théorème de Bertrand (d'après Michael Herman)

Published online by Cambridge University Press:  18 October 2004

JACQUES FÉJOZ  and
LAURENT KACZMAREK
JACQUES FÉJOZ
Affiliation:
Analyse algébrique, Institut de mathématiques (UMR 7586 du CNRS), Université P. & M. Curie, 175 rue du Chevaleret, 75013 Paris, France (e-mail: [email protected], [email protected]) Astronomie et systèmes dynamiques, IMCCE (UMR 8020 du CNRS), Observatoire de Paris, 77 avenue Denfert-Rochereau, 75014 Paris, France
LAURENT KACZMAREK
Affiliation:
Analyse algébrique, Institut de mathématiques (UMR 7586 du CNRS), Université P. & M. Curie, 175 rue du Chevaleret, 75013 Paris, France (e-mail: [email protected], [email protected])
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Abstract

Un point matériel soumis à une force centrale attractive dérivant d'un potentiel possède une famille à un paramètre d'orbites périodiques circulaires. Le théorème de Bertrand affirme que si toutes les orbites voisines de ces orbites circulaires sont périodiques, le potentiel est newtonien (proportionel à 1/r, où r est la distance du point au centre attractif) ou élastique (en r2) (J. Bertrand. Comptes Rendus77 (1873), 849–853). Nous calculons, sur une idée initiale de Michael Herman et pour un potentiel central générique, les deux premiers invariants de Birkhoff du système le long des orbites circulaires ; puis nous montrons comment le théorème de Bertrand s'en déduit.

Type
Research Article
Information
Ergodic Theory and Dynamical Systems , Volume 24 , Issue 5 , October 2004 , pp. 1583 - 1589
Copyright
© 2004 Cambridge University Press

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