Méthode de martingales et flot géodésique sur une surface de courbure constante négative

Abstract

Let ({\cal T}^1 S, m, (T^t){t \in \mathbb{R}}) be the geodesic flow on the unit tangent bundle of a surface S of negative constant curvature and finite volume. We show that every Hölder function on {\cal T}^1 S is, for the discrete time action of the geodesic flow, homologous to a martingale increment. From this representation follow the central limit theorem and its improvements, and a characterization of Hölder functions which are coboundaries in the class of measurable functions.

Soit ({\cal T}^1 S, m, (T^t)_{t \in \mathbb{R}}) le flot géodésique sur le fibré unitaire d'une surface S de courbure négative constante de volume fini. Nous montrons que toute fonction höldérienne sur {\cal T}^1 S est, pour l'action du flot géodésique à temps discret, homologue à un accroissement de martingale. Cette représentation permet d'obtenir le théorème de la limite centrale et ses extensions, et de caractériser les fonctions höldériennes qui sont des cobords dans la classe des fonctions mesurables.