Génération des cocycles de degré \geq 2 d'une action mesurable stationnaire de \mathbb{Z}^{d}

Abstract

Soit (\Omega,{\cal B},m) un espace de probabilité. À une action T stationnaire de \mathbb{Z}^d est associée une notion algébrique de cocycle de degré \geq 1, le degré 1 correspondant au sens habituel. Celle-ci a été étudiée entre autres par Westman (1971), Feldman et Moore (1977). Une autre notion de cocycle, présentant des analogies avec le calcul différentiel, à été étudiée par A. et S. Katok (1995). Nous présentons un mécanisme de génération associant, à tout cocycle de ce dernier type, un cocycle algébrique de même degré. De plus, toutes les classes de cohomologie algébrique peuvent être engendrées ainsi. Ce résultat a pour conséquence que tout cocycle algébrique de degré \geq d+1 est un cobord. Il permet aussi de montrer que dans la classe des cocycles intégrables, la cohomologie algébrique de degré \leq d n'est pas triviale, alors qu'elle l'est dans la classe des cocycles mesurables dès le degré 2. Enfin, la méthode de génération présentée permet d'obtenir des cocycles algébriques vérifiant les théorèmes ergodiques correspondant à leur degré.