$C^0$-densité globale des systèmes produits-croisés sur le cercle réductibles

Abstract

Nous prouvons que dans l'ensemble $SW^0({\bf T}^1,SU(2))$ des difféomorphismes de ${\bf T}^1\times SU(2)$ de la forme $(\theta,y)\to (\theta+\alpha,A(\theta).y)$, $A\in C^{\infty}({\bf T}^1,SU(2))$, $\alpha\in{\bf T}^1$, les systèmes $(\alpha,A)$ réductibles, c'est-à-dire ceux qui admettent une écriture de la forme $A(\theta)= B(\theta+\alpha)A_0B(\theta)^{-1}$, $B\in C^{\infty}({\bf T}^1,SU(2))$, $A_0\in SU(2)$, forment une partie dense pour la $C^0$-topologie. Ce théorème est à comparer à un résultat de Herman [7], qui dit qu'il en est de même des systèmes non réductibles. Ceci démontre (une forme d')une conjecture de Rychlik (cf. [14]).