Laminations hyperfinies et revêtements

Abstract

Nous introduisons la catégorie des espaces boréliens-topologiques, appelée BT-catégorie : c'est un cadre naturel pour la classification mesurable des feuilletages et des laminations usuels. Nous nous intéressons au cas des laminations de dimension deux. Nous prouvons les deux résultats principaux suivants :

1. Une lamination borélienne par plans est la suspension d'une action de $\mathbb{Z}^2$ sur un espace de Borel standard si et seulement si elle est hyperfinie.

2. Toute lamination par surfaces admettant une structure complexe parabolique mesurable est moyennable.

Le troisième résultat est une amélioration de (2) dans le cas des laminations munies d'une mesure transverse quasi-invariante $\mu$. L'énoncé est le suivant :

1. Une lamination par plans, cylindres et tores est $\mu$-moyennable si et seulement si elle admet une métrique de Riemann plate le long de $\mu$-presque chaque feuille.