Calcul d'une fonction de Melnikov et de ses zeros pour une perturbation algebrique du billard elliptique

Abstract

Nous développons dans cet article des résultats de M. B. Tabanov et moi-même annoncés dans la note [6]. M. B. Tabanov a donné un exposé de ses méthodes dans [7]. Notre approche, différente, est le sujet principal de notre thèse [5], soutenue à l'université de Paris VII sous la direction de A. Chenciner. Nous étudions la séparation des séparatrices d'un billard elliptique pour une déformation algébrique et donc globale de l'ellipse. Nous mesurons cette séparation par une fonction de Melnikov (dont le calcul est peu fréquent dans le cadre des systèmes dynamiques discrets), et nous observons que cette fonction est en général (lorsqu'elle admet une extension méromorphe) elliptique. Nous donnons ensuite sa décomposition en éléments simples avec les fonctions thêta. Nous obtenons ainsi sur un exemple tous les zéros d'une fonction de Melnikov, et donc toutes les orbites héterocliniques primaires.