Régulateurs modulaires explicites via la méthode de Rogers–Zudilin

Abstract

We compute the regulator of the Beilinson–Deninger–Scholl elements in terms of special values of $L$ -functions of modular forms. The main tool is the Rogers–Zudilin method.

Nous calculons le régulateur des éléments de Beilinson–Deninger–Scholl en termes de valeurs spéciales de fonctions $L$ de formes modulaires en utilisant la méthode de Rogers–Zudilin.

1 Introduction

Soit $N\geqslant 3$ un entier. Soit $Y(N)$ la courbe modulaire ouverte et $E$ la courbe elliptique universelle sur $Y(N)$ . Pour un entier $n\geqslant 0$ , notons $E^{n}$ la puissance fibrée $n$ -ième de $E$ au-dessus de $Y(N)$ . Pour tout $u\in (\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})^{2}$ , avec $u\neq 0$ si $n=0$ , Beilinson a défini le symbole d’Eisenstein

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \text{Eis}^{n}(u)\in H_{{\mathcal{M}}}^{n+1}(E^{n},\mathbf{Q}(n+1)). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Le symbole d’Eisenstein est à la base de la preuve par Beilinson et Deninger–Scholl de la conjecture de Beilinson pour les valeurs non critiques des fonctions $L$ des formes modulaires.

Plus précisément, donnons-nous un entier $k\geqslant 0$ , et choisissons une décomposition $k=k_{1}+k_{2}$ avec $k_{1},k_{2}\geqslant 0$ . Considérons les projections canoniques

Soient $u_{1},u_{2}\in (\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})^{2}$ , avec $u_{i}\neq 0$ si $k_{i}=0$ . Généralisant les constructions de Beilinson et Deninger–Scholl, Gealy [Gea05] définit un élément dans la cohomologie motivique de $E^{k}$ ,

(1) $$\begin{eqnarray}\displaystyle \text{Eis}^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2})=p_{1}^{\ast }\,\text{Eis}^{k_{1}}(u_{1})\cup p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}^{k_{2}}(u_{2})\in H_{{\mathcal{M}}}^{k+2}(E^{k},\mathbf{Q}(k+2)). & & \displaystyle\end{eqnarray}$$

Dans le cas $k=0$ , on retrouve les éléments de Beilinson–Kato (cup-produits d’unités de Siegel) dans le $K_{2}$ de la courbe modulaire $Y(N)$ . Considérons le régulateur de Beilinson à valeurs dans la cohomologie de Deligne–Beilinson

et l’application analogue pour la compactification lisse $\overline{E}^{k}$ de $E^{k}$ définie par Deligne. Soit $f$ une forme parabolique primitive de poids $k+2$ pour le groupe $\unicode[STIX]{x1D6E4}_{1}(N)$ . Notons $K_{f}$ le corps des coefficients de $f$ , et $\unicode[STIX]{x1D714}_{f}\in \unicode[STIX]{x1D6FA}^{k+1}(\overline{E}^{k})\otimes K_{f}$ la forme différentielle associée à $f$ . Classiquement, le régulateur de Beilinson associé à $f$ est défini au moyen de l’accouplement issu de la dualité de Poincaré

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \langle \cdot ,\unicode[STIX]{x1D714}_{f}\rangle :H_{{\mathcal{D}}}^{k+2}(\overline{E}^{k}/\mathbf{R},\mathbf{R}(k+2))\rightarrow K_{f}\otimes \mathbf{C}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

En utilisant les éléments (1), Deninger et Scholl [DS91] et Gealy [Gea05] montrent qu’il existe un élément $x$ de $H_{{\mathcal{M}}}^{k+2}(\overline{E}^{k},\mathbf{Q}(k+2))\otimes K_{f}$ tel que

où $\unicode[STIX]{x1D6FA}_{f}^{+}$ est la période réelle de $f$ . Le calcul est basé sur la méthode de Rankin–Selberg. Cela permet de démontrer la conjecture de Beilinson pour la valeur spéciale $L(f,k+2)$ .

Dans cet article, nous proposons une approche nouvelle, et totalement explicite, pour calculer le régulateur. Au lieu d’intégrer le régulateur de Beilinson contre une forme parabolique, nous pouvons l’intégrer le long des $(k+1)$ -cycles explicites fournis par la théorie de Shokurov [Šok80]. Plus précisément, considérons le cycle de Shokurov $X^{k}\{0,\infty \}$ (voir la § 4). Dans la § 6, nous définissons une forme différentielle explicite $\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2})$ représentant le régulateur de Beilinson de $\text{Eis}^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2})$ . Considérons alors l’intégrale

(2) $$\begin{eqnarray}\displaystyle \int _{X^{k}\{0,\infty \}}\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2}). & & \displaystyle\end{eqnarray}$$

Contrairement au cas $k=0$ , l’intégrale (2) ne converge pas absolument en général. Pour remédier à ce problème, nous introduisons un paramètre complexe $s\in \mathbf{C}$ et considérons l’intégrale

(3) $$\begin{eqnarray}\displaystyle \int _{X^{k}\{0,\infty \}}\Im (\unicode[STIX]{x1D70F})^{s}\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2}). & & \displaystyle\end{eqnarray}$$

Nous montrons que l’intégrale (3) converge pour $\Re (s)\ll 0$ et se prolonge en une fonction méromorphe sur $\mathbf{C}$ , holomorphe en $s=0$ . Définissons alors l’intégrale régularisée

(4) $$\begin{eqnarray}\displaystyle \int _{X^{k}\{0,\infty \}}^{\ast }\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2}) & & \displaystyle\end{eqnarray}$$

comme la valeur en $s=0$ de cette fonction.

Soit ${\mathcal{H}}$ le demi-plan de Poincaré. Pour $\ell \geqslant 1$ , $a,b\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}$ , définissons la série d’Eisenstein

$$\begin{eqnarray}\displaystyle G_{a,b}^{(\ell )}(\unicode[STIX]{x1D70F})=a_{0}(G_{a,b}^{(\ell )})+\mathop{\sum }_{\substack{ m,n\geqslant 1 \\ m\equiv a,n\equiv b(N)}}m^{\ell -1}q^{mn}+(-1)^{\ell }\mathop{\sum }_{\substack{ m,n\geqslant 1 \\ m\equiv -a,n\equiv -b(N)}}m^{\ell -1}q^{mn}\quad (\unicode[STIX]{x1D70F}\in {\mathcal{H}},q=e^{2i\unicode[STIX]{x1D70B}\unicode[STIX]{x1D70F}}) & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

avec

$$\begin{eqnarray}\displaystyle a_{0}(G_{a,b}^{(1)})=\left\{\begin{array}{@{}ll@{}}\displaystyle 0\quad & \text{si }a=b=0,\\ \displaystyle \frac{1}{2}-\biggl\{\frac{b}{N}\biggr\}\quad & \text{si }a=0\text{ et }b\neq 0,\\ \displaystyle \frac{1}{2}-\biggl\{\frac{a}{N}\biggr\}\quad & \text{si }a\neq 0\text{ et }b=0,\\ \displaystyle 0\quad & \text{si }a\neq 0\text{et }b\neq 0,\end{array}\right. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

et pour $\ell \geqslant 2$ ,

$$\begin{eqnarray}\displaystyle a_{0}(G_{a,b}^{(\ell )})=\left\{\begin{array}{@{}ll@{}}\displaystyle -N^{\ell -1}\frac{B_{\ell }(\{a/N\})}{\ell }\quad & \text{si }b=0,\\ 0\quad & \text{si }b\neq 0,\end{array}\right. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

où $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$ désigne la partie fractionnaire de $x$ , et $B_{\ell }$ est le $\ell$ -ième polynôme de Bernoulli. La fonction $G_{a,b}^{(\ell )}$ est une forme modulaire (quasi-modulaire si $\ell =2$ et $a=0$ ) de poids $\ell$ pour le groupe $\unicode[STIX]{x1D6E4}_{1}(N^{2})$ .

Étant donnée une forme modulaire $F=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{n}$ pour $\unicode[STIX]{x1D6E4}_{1}(M)$ , notons

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D6EC}(F,s)=M^{s/2}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{-s}\unicode[STIX]{x1D6E4}(s)\mathop{\sum }_{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s} & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

la fonction $L$ complétée de $F$ , et notons $\unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }(F,0)$ la valeur régularisée de $\unicode[STIX]{x1D6EC}(F,s)$ en $s=0$ (voir la définition 3.13).

En utilisant la méthode de Rogers–Zudilin, nous montrons le résultat suivant.

Théorème 1.1. Soit $k\geqslant 0$ un entier, et soient $k_{1},k_{2}\geqslant 0$ tels que $k=k_{1}+k_{2}$ . Soit $N\geqslant 3$ un entier, et soient $u_{1}=(a_{1},b_{1})$ , $u_{2}=(a_{2},b_{2})\in (\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})^{2}$ . Supposons $u_{i}\neq (0,0)$ si $k_{i}=0$ , et $b_{i}\neq 0$ si $k_{i}=1$ . Alors

(5) $$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \int _{X^{k}\{0,\infty \}}^{\ast }\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =\frac{(k_{1}+2)(k_{2}+2)}{2N^{k+2}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k+1}i^{k_{1}-k_{2}+1}\unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }(G_{b_{2},a_{1}}^{(k_{2}+1)}G_{b_{1},-a_{2}}^{(k_{1}+1)}-G_{b_{2},-a_{1}}^{(k_{2}+1)}G_{b_{1},a_{2}}^{(k_{1}+1)},0).\end{eqnarray}$$

Remarques 1.2. (i) Lorsque $k_{1}=k_{2}=0$ , on retrouve la formule pour le régulateur du cup-produit de deux unités modulaires [Zud14, Bru16].

(ii) La forme modulaire de poids $k+2$ apparaissant dans le membre de droite de (5) est à coefficients rationnels. Il est naturel de se demander si toute forme parabolique primitive est combinaison linéaire de telles formes modulaires.

(iii) Si $\unicode[STIX]{x1D6FE}$ est un $(k+1)$ -cycle de la forme $\unicode[STIX]{x1D6FE}=\sum _{i}n_{i}(X^{k}\{0,\infty \})|g_{i}$ avec $n_{i}\in \mathbf{Z}$ et $g_{i}\in \text{GL}_{2}(\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})$ , alors on peut calculer l’intégrale de $\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2})$ le long de $\unicode[STIX]{x1D6FE}$ au moyen de la formule

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \int _{\unicode[STIX]{x1D6FE}}^{\ast }\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2})=\mathop{\sum }_{i}n_{i}\int _{X^{k}\{0,\infty \}}^{\ast }g_{i}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2})=\mathop{\sum }_{i}n_{i}\int _{X^{k}\{0,\infty \}}^{\ast }\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1},k_{2}}(u_{1}g_{i},u_{2}g_{i}). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

(iv) Soit $F_{u_{1},u_{2}}=G_{b_{2},a_{1}}^{(k_{2}+1)}G_{b_{1},-a_{2}}^{(k_{1}+1)}-G_{b_{2},-a_{1}}^{(k_{2}+1)}G_{b_{1},a_{2}}^{(k_{1}+1)}$ la forme modulaire apparaissant dans le membre de droite de (5). Alors $\tilde{F}_{u_{1},u_{2}}(\unicode[STIX]{x1D70F})=F_{u_{1},u_{2}}(\unicode[STIX]{x1D70F}/N)$ est modulaire pour le groupe $\unicode[STIX]{x1D6E4}(N)$ . Supposons de plus $\det (u_{1},u_{2})=0$ , c’est-à-dire $a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=0$ . Alors $F_{u_{1},u_{2}}\in \mathbf{Q}[[q^{N}]]$ , de sorte que $\tilde{F}_{u_{1},u_{2}}(\unicode[STIX]{x1D70F}+1)=\tilde{F}_{u_{1},u_{2}}(\unicode[STIX]{x1D70F})$ , et donc $\tilde{F}_{u_{1},u_{2}}\in M_{k+2}(\unicode[STIX]{x1D6E4}_{1}(N))$ . Remarquons en outre que pour tout $g\in \text{GL}_{2}(\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})$ , avec $u_{i}g\neq (\ast ,0)$ si $k_{i}=1$ , on a $\det (u_{1}g,u_{2}g)=0$ et donc $\tilde{F}_{u_{1}g,u_{2}g}\in M_{k+2}(\unicode[STIX]{x1D6E4}_{1}(N))$ .

(v) Dans le cas où $k_{i}=1$ et $b_{i}=0$ , on a un résultat partiel pour le calcul du régulateur, voir le théorème 9.5.

Cet article est organisé comme suit. Dans les §§ 2 et 3, nous introduisons les notations concernant la fonction zêta de Hurwitz et les séries d’Eisenstein–Kronecker, et rappelons les résultats principaux les concernant. Dans les §§ 4 et 5, nous rappelons la définition des cycles de Shokurov et la formule donnant la réalisation du symbole d’Eisenstein. Dans la § 6, nous définissons les éléments de Deninger–Scholl et explicitons leurs réalisations en cohomologie de Deligne–Beilinson. Dans la § 7, nous exposons la méthode de Rogers–Zudilin dans un cadre suffisamment général. Dans la § 8, nous calculons le développement de Fourier de certaines séries d’Eisenstein analytiques réelles. Enfin, nous effectuons le calcul proprement dit du régulateur dans la § 9.

Ce travail doit beaucoup à Anton Mellit et Don Zagier, qui ont les premiers proposé une formulation analytique générale de l’astuce de Rogers–Zudilin. Je remercie Anton Mellit de m’avoir invité à l’université de Köln en novembre 2011, et pour les discussions très constructives que nous avons eues. Je remercie Odile Lecacheux pour des échanges très stimulants autour de ces questions, Loïc Merel pour avoir porté mon attention sur les cycles de Shokurov, Wadim Zudilin pour ses encouragements lors de la rédaction, et Michael Neururer pour ses commentaires et la relecture de ce texte. Enfin, je remercie le rapporteur pour ses remarques utiles pour l’amélioration de ce texte.

2 Fonction zêta de Hurwitz

Pour $x\in \mathbf{R}/\mathbf{Z}$ , on définit la fonction zêta de Hurwitz

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D701}(x,s)=\mathop{\sum }_{\substack{ y>0 \\ y\equiv x(1)}}y^{-s}\quad (\Re (s)>1) & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

et la fonction zêta périodique

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \hat{\unicode[STIX]{x1D701}}(x,s)=\mathop{\sum }_{n=1}^{\infty }e^{2i\unicode[STIX]{x1D70B}nx}n^{-s}\quad (\Re (s)>1). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

On a donc $\unicode[STIX]{x1D701}(0,s)=\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}(0,s)=\unicode[STIX]{x1D701}(s)$ . La fonction $s\mapsto \unicode[STIX]{x1D701}(x,s)$ se prolonge en une fonction méromorphe sur $\mathbf{C}$ , avec un unique pôle simple en $s=1$ , de résidu égal à $1$  [KR01, Corollary 2(a)].

Définition 2.1. Pour $x\in \mathbf{R}/\mathbf{Z}$ , on pose

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D701}^{\ast }(x,1)=\lim _{s\rightarrow 1}\biggl(\unicode[STIX]{x1D701}(x,s)-\frac{1}{s-1}\biggr). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Pour $x\in \mathbf{R}/\mathbf{Z}$ , $x\neq 0$ , la fonction $s\mapsto \hat{\unicode[STIX]{x1D701}}(x,s)$ se prolonge en une fonction holomorphe sur $\mathbf{C}$  [KR01, Corollary 2(c)]. Pour tout entier $N\geqslant 1$ , en notant $\unicode[STIX]{x1D701}_{N}=e^{2i\unicode[STIX]{x1D70B}/N}$ , on a les relations suivantes

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & \displaystyle \mathop{\sum }_{x\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{xu}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{x}{N},s\biggr)=N^{s}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{u}{N},s\biggr), & \displaystyle \nonumber\\ \displaystyle & \mathop{\sum }_{x\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{xu}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{x}{N},s\biggr)=N^{1-s}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{u}{N},s\biggr). & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

La formule de Hurwitz [KR01, (2), Corollary 2(b)] est une équation fonctionnelle reliant  $\unicode[STIX]{x1D701}$  et  $\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}$ ,

(6) $$\begin{eqnarray}\displaystyle & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D701}(x,1-s)=\frac{\unicode[STIX]{x1D6E4}(s)}{(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{s}}(e^{-i\unicode[STIX]{x1D70B}s/2}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}(x,s)+e^{i\unicode[STIX]{x1D70B}s/2}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}(-x,s)), & \displaystyle\end{eqnarray}$$

(7) $$\begin{eqnarray}\displaystyle & \displaystyle \hat{\unicode[STIX]{x1D701}}(x,s)=\frac{(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{s}}{\unicode[STIX]{x1D6E4}(s)(e^{-i\unicode[STIX]{x1D70B}s}-e^{i\unicode[STIX]{x1D70B}s})}(e^{-i\unicode[STIX]{x1D70B}s/2}\unicode[STIX]{x1D701}(x,1-s)-e^{i\unicode[STIX]{x1D70B}s/2}\unicode[STIX]{x1D701}(-x,1-s)). & \displaystyle\end{eqnarray}$$

Rappelons maintenant les résultats concernant les valeurs spéciales de $\unicode[STIX]{x1D701}$ et $\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}$ aux entiers. Les polynômes de Bernoulli $B_{n}(x)$ sont définis par

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \frac{te^{xt}}{e^{t}-1}=\mathop{\sum }_{n=0}^{\infty }B_{n}(x)\frac{t^{n}}{n!}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

On a $B_{0}(x)=1$ , $B_{1}(x)=x-\frac{1}{2}$ , $B_{2}(x)=x^{2}-x+\frac{1}{6}$ .

Pour $x\in \mathbf{R}$ , on note $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$ la partie fractionnaire de $x$ .

Pour $x\in \mathbf{R}/\mathbf{Z}$ et $n\geqslant 2$ , on a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D701}(x,1-n)=-\frac{B_{n}(\{x\})}{n}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

On en déduit, pour $x\in \mathbf{R}/\mathbf{Z}$ et $n\geqslant 2$ ,

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \hat{\unicode[STIX]{x1D701}}(x,n)+(-1)^{n}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}(-x,n)=-\frac{(2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{n}}{n!}B_{n}(\{x\}). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Pour $x\in \mathbf{R}/\mathbf{Z}$ , on a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D701}(x,0)=\left\{\begin{array}{@{}ll@{}}\displaystyle {\textstyle \frac{1}{2}}-\{x\}\quad & \text{si }x\neq 0,\\ \displaystyle -{\textstyle \frac{1}{2}}\quad & \text{si }x=0.\end{array}\right. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

On déduit de la formule de Hurwitz que pour $x\in \mathbf{R}/\mathbf{Z}$ , $x\neq 0$ , on a

(8) $$\begin{eqnarray}\displaystyle & \displaystyle \hat{\unicode[STIX]{x1D701}}(x,1)-\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}(-x,1)=2i\unicode[STIX]{x1D70B}({\textstyle \frac{1}{2}}-\{x\}), & \displaystyle\end{eqnarray}$$

(9) $$\begin{eqnarray}\displaystyle & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D701}^{\ast }(x,1)-\unicode[STIX]{x1D701}^{\ast }(-x,1)=i\unicode[STIX]{x1D70B}\frac{e^{2i\unicode[STIX]{x1D70B}x}+1}{e^{2i\unicode[STIX]{x1D70B}x}-1}. & \displaystyle\end{eqnarray}$$

Notons les relations suivantes : pour tout $n\geqslant 1$ et tout $x\in \mathbf{R}/\mathbf{Z}$ , avec $x\neq 0$ si $n=1$ , on a

(10) $$\begin{eqnarray}\displaystyle & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D701}(-x,1-n)=(-1)^{n}\unicode[STIX]{x1D701}(x,1-n), & \displaystyle\end{eqnarray}$$

(11) $$\begin{eqnarray}\displaystyle & \displaystyle \hat{\unicode[STIX]{x1D701}}(-x,1-n)=(-1)^{n}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}(x,1-n). & \displaystyle\end{eqnarray}$$

Définition 2.2. Pour $u\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}$ , définissons les fonctions $\unicode[STIX]{x1D6FF}_{u},\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{u}:\mathbf{Z}/N\mathbf{Z}\rightarrow \mathbf{C}$ par

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6FF}_{u}(n)=\left\{\begin{array}{@{}ll@{}}1\quad & \text{si }n\equiv u\;(\text{mod}\;N),\\ 0\quad & \text{si }n\not \equiv u\;(\text{mod}\;N),\end{array}\right. & \displaystyle \nonumber\\ \displaystyle & \displaystyle \hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{u}(n)=\mathop{\sum }_{x\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{u}(x)\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-xn}=\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-un}. & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

3 Séries d’Eisenstein–Kronecker

Nous définissons dans cette section les séries d’Eisenstein–Kronecker classiques [Col04, § 1.3], [Kat04, § 3], [Sch74, ch. VII], [Wei99, ch. VIII].

Pour $k\geqslant 0$ un entier, $\unicode[STIX]{x1D70F}\in {\mathcal{H}}$ , $z,u\in \mathbf{C}$ , on pose

$$\begin{eqnarray}\displaystyle {\mathcal{K}}_{k}(s,\unicode[STIX]{x1D70F},z,u)=\frac{\unicode[STIX]{x1D6E4}(s)}{(-2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{k}}\biggl(\frac{\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}}{2i\unicode[STIX]{x1D70B}}\biggr)^{s-k}\mathop{\sum }_{\substack{ \unicode[STIX]{x1D714}\in \mathbf{Z}+\unicode[STIX]{x1D70F}\mathbf{Z} \\ \unicode[STIX]{x1D714}\neq -z}}\frac{\overline{\unicode[STIX]{x1D714}+z}^{k}}{|\unicode[STIX]{x1D714}+z|^{2s}}\exp \biggl(\frac{2i\unicode[STIX]{x1D70B}(\unicode[STIX]{x1D714}\overline{u}-\overline{\unicode[STIX]{x1D714}}u)}{\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}}\biggr). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Cette série converge pour $s\in \mathbf{C}$ , $\Re (s)>1+k/2$ , et possède un prolongement méromorphe au plan complexe, holomorphe sur $\mathbf{C}$ sauf éventuellement des pôles simples en $s=0$ (si $k=0$ et $z\in \mathbf{Z}+\unicode[STIX]{x1D70F}\mathbf{Z}$ ) et en $s=1$ (si $k=0$ et $u\in \mathbf{Z}+\unicode[STIX]{x1D70F}\mathbf{Z}$ ). La fonction ${\mathcal{K}}_{k}(s,\unicode[STIX]{x1D70F},z,u)$ est périodique en $u$ de période $\mathbf{Z}+\unicode[STIX]{x1D70F}\mathbf{Z}$ , et vérifie

$$\begin{eqnarray}\displaystyle {\mathcal{K}}_{k}(s,\unicode[STIX]{x1D70F},z+\unicode[STIX]{x1D706},u)=\exp \biggl(\frac{2i\unicode[STIX]{x1D70B}(\overline{\unicode[STIX]{x1D706}}u-\unicode[STIX]{x1D706}\overline{u})}{\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}}\biggr){\mathcal{K}}_{k}(s,\unicode[STIX]{x1D70F},z,u)\quad (\unicode[STIX]{x1D706}\in \mathbf{Z}+\unicode[STIX]{x1D70F}\mathbf{Z}). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

En particulier la fonction $z\mapsto {\mathcal{K}}_{k}(s,\unicode[STIX]{x1D70F},z,0)$ est $(\mathbf{Z}+\unicode[STIX]{x1D70F}\mathbf{Z})$ -périodique. La fonction ${\mathcal{K}}_{k}$ vérifie l’équation fonctionnelle [Wei99, ch. VIII, (32)]

$$\begin{eqnarray}\displaystyle {\mathcal{K}}_{k}(s,\unicode[STIX]{x1D70F},z,u)=\exp \biggl(\frac{2i\unicode[STIX]{x1D70B}(u\overline{z}-\overline{u}z)}{\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}}\biggr){\mathcal{K}}_{k}(k+1-s,\unicode[STIX]{x1D70F},u,z). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Pour $k\geqslant 1$ , $N\geqslant 1$ un entier, $a,b\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}$ , $\unicode[STIX]{x1D70F}\in {\mathcal{H}}$ , on pose

$$\begin{eqnarray}\displaystyle E_{a,b}^{(k)}(\unicode[STIX]{x1D70F})={\mathcal{K}}_{k}\biggl(k,\unicode[STIX]{x1D70F},\frac{a\unicode[STIX]{x1D70F}+b}{N},0\biggr),\quad F_{a,b}^{(k)}(\unicode[STIX]{x1D70F})={\mathcal{K}}_{k}\biggl(k,\unicode[STIX]{x1D70F},0,\frac{a\unicode[STIX]{x1D70F}+b}{N}\biggr). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Pour $\unicode[STIX]{x1D70F}\in {\mathcal{H}}$ et $\unicode[STIX]{x1D6FC}\in \mathbf{Q}_{{>}0}$ , on pose $q^{\unicode[STIX]{x1D6FC}}=e^{2i\unicode[STIX]{x1D70B}\unicode[STIX]{x1D6FC}\unicode[STIX]{x1D70F}}$ .

Lemme 3.1. Supposons $k\geqslant 1$ , $k\neq 2$ . La fonction $E_{a,b}^{(k)}$ est une série d’Eisenstein de poids $k$ pour le groupe $\unicode[STIX]{x1D6E4}(N)$ , et son $q$ -développement est donné par

$$\begin{eqnarray}\displaystyle E_{a,b}^{(k)}(\unicode[STIX]{x1D70F})=a_{0}(E_{a,b}^{(k)})+\mathop{\sum }_{\substack{ m,n\geqslant 1 \\ m\equiv a(N)}}n^{k-1}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{bn}q^{mn/N}+(-1)^{k}\mathop{\sum }_{\substack{ m,n\geqslant 1 \\ m\equiv -a(N)}}n^{k-1}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-bn}q^{mn/N} & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

avec

$$\begin{eqnarray}\displaystyle a_{0}(E_{a,b}^{(1)})=\left\{\begin{array}{@{}ll@{}}\displaystyle 0\quad & \text{si }a=b=0,\\ \displaystyle \frac{1}{2}\frac{1+\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{b}}{1-\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{b}}\quad & \text{si }a=0\text{ et }b\neq 0,\\ \displaystyle \frac{1}{2}-\biggl\{\frac{a}{N}\biggr\}\quad & \text{si }a\neq 0,\end{array}\right. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

et pour $k\geqslant 3$ ,

$$\begin{eqnarray}\displaystyle a_{0}(E_{a,b}^{(k)})=\left\{\begin{array}{@{}ll@{}}\displaystyle \hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b}{N},1-k\biggr)\quad & \text{si }a=0,\\ 0\quad & \text{si }a\neq 0.\end{array}\right. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Lemme 3.2. Supposons $k=2$ . La fonction $E_{a,b}^{(2)}$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur ${\mathcal{H}}$ . Elle est modulaire de poids $2$ pour le groupe $\unicode[STIX]{x1D6E4}(N)$ , et son développement de Fourier est donné par

$$\begin{eqnarray}\displaystyle E_{a,b}^{(2)}(\unicode[STIX]{x1D70F})=a_{0}(E_{a,b}^{(2)})+\frac{1}{4\unicode[STIX]{x1D70B}\Im (\unicode[STIX]{x1D70F})}+\mathop{\sum }_{\substack{ m,n\geqslant 1 \\ m\equiv a(N)}}n\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{bn}q^{mn/N}+\mathop{\sum }_{\substack{ m,n\geqslant 1 \\ m\equiv -a(N)}}n\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-bn}q^{mn/N} & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

avec

$$\begin{eqnarray}\displaystyle a_{0}(E_{a,b}^{(2)})=\left\{\begin{array}{@{}ll@{}}\displaystyle \hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b}{N},-1\biggr)\quad & \text{si }a=0,\\ \displaystyle -\frac{1}{12}\quad & \text{si }a\neq 0.\end{array}\right. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

En particulier $E_{a,b}^{(2)}-E_{0,0}^{(2)}$ est une série d’Eisenstein de poids $2$ pour le groupe $\unicode[STIX]{x1D6E4}(N)$ .

Lemme 3.3. Supposons $k\geqslant 1$ , et $(a,b)\neq (0,0)$ dans le cas $k=2$ . La fonction $F_{a,b}^{(k)}$ est une série d’Eisenstein de poids $k$ pour le groupe $\unicode[STIX]{x1D6E4}(N)$ , et son $q$ -développement est donné par

$$\begin{eqnarray}\displaystyle F_{a,b}^{(k)}=a_{0}(F_{a,b}^{(k)})+N^{1-k}\biggl(\mathop{\sum }_{\substack{ m,n\geqslant 1 \\ n\equiv a(N)}}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{bm}n^{k-1}q^{mn/N}+(-1)^{k}\mathop{\sum }_{\substack{ m,n\geqslant 1 \\ n\equiv -a(N)}}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-bm}n^{k-1}q^{mn/N}\biggr). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

avec

$$\begin{eqnarray}\displaystyle a_{0}(F_{a,b}^{(1)})=\left\{\begin{array}{@{}ll@{}}\displaystyle 0\quad & \text{si }a=b=0,\\ \displaystyle \frac{1}{2}\frac{1+\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{b}}{1-\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{b}}\quad & \text{si }a=0\text{ et }b\neq 0,\\ \displaystyle \frac{1}{2}-\biggl\{\frac{a}{N}\biggr\}\quad & \text{si }a\neq 0,\end{array}\right. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

et pour $k\geqslant 2$ ,

$$\begin{eqnarray}\displaystyle a_{0}(F_{a,b}^{(k)})=\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{a}{N},1-k\biggr)=-\frac{B_{k}(\{a/N\})}{k}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Lemme 3.4 [Kat04, Lemma 3.7(1)(iii)].

Soit $k\geqslant 1$ un entier. Soit $(a,b)\in (\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})^{2}$ , avec $(a,b)\neq (0,0)$ dans le cas $k=2$ . Alors pour tout $g\in \text{SL}_{2}(\mathbf{Z})$ , on a $F_{a,b}^{(k)}|_{k}g=F_{(a,b)g}^{(k)}$ .

Nous allons maintenant définir des séries d’Eisenstein dont le $q$ -développement est rationnel.

Définition 3.5. Pour $k\geqslant 1$ , $a,b\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}$ , on pose

$$\begin{eqnarray}\displaystyle G_{a,b}^{(k)}(\unicode[STIX]{x1D70F})=a_{0}(G_{a,b}^{(k)})+\mathop{\sum }_{\substack{ m,n\geqslant 1 \\ m\equiv a,n\equiv b(N)}}m^{k-1}q^{mn}+(-1)^{k}\mathop{\sum }_{\substack{ m,n\geqslant 1 \\ m\equiv -a,n\equiv -b(N)}}m^{k-1}q^{mn} & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

avec

$$\begin{eqnarray}\displaystyle a_{0}(G_{a,b}^{(1)})=\left\{\begin{array}{@{}ll@{}}\displaystyle 0\quad & \text{si }a=b=0,\\ \displaystyle \frac{1}{2}-\biggl\{\frac{b}{N}\biggr\}\quad & \text{si }a=0\text{ et }b\neq 0,\\ \displaystyle \frac{1}{2}-\biggl\{\frac{a}{N}\biggr\}\quad & \text{si }a\neq 0\text{ et }b=0,\\ \displaystyle 0\quad & \text{si }a\neq 0\text{et }b\neq 0,\end{array}\right. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

et pour $k\geqslant 2$ ,

$$\begin{eqnarray}\displaystyle a_{0}(G_{a,b}^{(k)})=\left\{\begin{array}{@{}ll@{}}\displaystyle -N^{k-1}\frac{B_{k}(\{a/N\})}{k}\quad & \text{si }b=0,\\ \displaystyle 0\quad & \text{si }b\neq 0.\end{array}\right. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Lemme 3.6. Soit $k\geqslant 1$ , avec $a\neq 0$ si $k=2$ . Alors la fonction $G_{a,b}^{(k)}(\unicode[STIX]{x1D70F}/N)$ est modulaire de poids $k$ pour $\unicode[STIX]{x1D6E4}(N)$ .

Démonstration.

On vérifie l’identité

$$\begin{eqnarray}\displaystyle F_{a,b}^{(k)}(\unicode[STIX]{x1D70F})=N^{1-k}\mathop{\sum }_{c\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{bc}G_{a,c}^{(k)}(\unicode[STIX]{x1D70F}/N). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Par inversion de Fourier, il vient

$$\begin{eqnarray}\displaystyle G_{a,b}^{(k)}(\unicode[STIX]{x1D70F}/N)=N^{k-2}\mathop{\sum }_{c\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-bc}F_{a,c}^{(k)}(\unicode[STIX]{x1D70F}). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Le résultat suit alors du lemme 3.3. ◻

Lemme 3.7. Si $G(\unicode[STIX]{x1D70F}/N)$ est modulaire de poids $k$ pour le groupe $\unicode[STIX]{x1D6E4}(N)$ , alors $G(\unicode[STIX]{x1D70F})$ est modulaire de poids $k$ pour le groupe $\unicode[STIX]{x1D6E4}_{1}(N^{2})$ .

Démonstration.

Cela résulte de l’inclusion $\big(\!\begin{smallmatrix}N & 0\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\!\big)\unicode[STIX]{x1D6E4}_{1}(N^{2})\big(\!\begin{smallmatrix}N & 0\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\!\big)^{-1}\subset \unicode[STIX]{x1D6E4}(N)$ .◻

On en déduit le lemme suivant.

Lemme 3.8. Soit $k\geqslant 1$ , avec $a\neq 0$ si $k=2$ . Alors $G_{a,b}^{(k)}$ est une forme modulaire de poids $k$ pour $\unicode[STIX]{x1D6E4}_{1}(N^{2})$ .

Rappelons que l’involution d’Atkin–Lehner $W_{N}$ sur $M_{k}(\unicode[STIX]{x1D6E4}_{1}(N))$ est définie par

$$\begin{eqnarray}\displaystyle (W_{N}f)(\unicode[STIX]{x1D70F})=i^{k}N^{-k/2}\unicode[STIX]{x1D70F}^{-k}f\biggl(-\frac{1}{N\unicode[STIX]{x1D70F}}\biggr)\quad (f\in M_{k}(\unicode[STIX]{x1D6E4}_{1}(N))). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Définition 3.9. Pour $k\geqslant 1$ , $a,b\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}$ , on pose

$$\begin{eqnarray}\displaystyle H_{a,b}^{(k)}(\unicode[STIX]{x1D70F})=a_{0}(H_{a,b}^{(k)})+\mathop{\sum }_{m,n\geqslant 1}(\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-am-bn}+(-1)^{k}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{am+bn})n^{k-1}q^{mn} & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

avec

$$\begin{eqnarray}\displaystyle a_{0}(H_{a,b}^{(1)})=\left\{\begin{array}{@{}ll@{}}\displaystyle 0\quad & \text{si }a=b=0,\\ \displaystyle -\frac{1}{2}\frac{1+\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{b}}{1-\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{b}}\quad & \text{si }a=0\text{ et }b\neq 0,\\ \displaystyle -\frac{1}{2}\frac{1+\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{a}}{1-\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{a}}\quad & \text{si }a\neq 0\text{ et }b=0,\\ \displaystyle -\frac{1}{2}\biggl(\frac{1+\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{a}}{1-\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{a}}+\frac{1+\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{b}}{1-\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{b}}\biggr)\quad & \text{si }a\neq 0\text{ et }b\neq 0,\end{array}\right. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

et pour $k\geqslant 2$ ,

$$\begin{eqnarray}\displaystyle a_{0}(H_{a,b}^{(k)})=\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b}{N},1-k\biggr). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Notons l’identité $H_{-a,-b}^{(k)}=(-1)^{k}H_{a,b}^{(k)}$ .

Lemme 3.10. Soit $k\geqslant 1$ , $a,b\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}$ . Dans le cas $k=2$ , supposons $a\neq 0$ . Alors

$$\begin{eqnarray}\displaystyle W_{N^{2}}(G_{a,b}^{(k)})=\frac{i^{k}}{N}H_{a,b}^{(k)}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

En particulier $H_{a,b}^{(k)}$ est une forme modulaire de poids $k$ pour $\unicode[STIX]{x1D6E4}_{1}(N^{2})$ .

Démonstration.

Le cas $k=1$ est traité dans [Bru16, Lemma 13]. Supposons donc $k\geqslant 2$ , avec $a\neq 0$ si $k=2$ . Par définition, on a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle W_{N^{2}}(G_{a,b}^{(k)})(\unicode[STIX]{x1D70F}) & = & \displaystyle i^{k}N^{-k}\unicode[STIX]{x1D70F}^{-k}G_{a,b}^{(k)}\biggl(-\frac{1}{N^{2}\unicode[STIX]{x1D70F}}\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle i^{k}N^{-k}\unicode[STIX]{x1D70F}^{-k}N^{k-2}\mathop{\sum }_{c\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-bc}F_{a,c}^{(k)}\biggl(-\frac{1}{N\unicode[STIX]{x1D70F}}\biggr).\nonumber\end{eqnarray}$$

D’après le lemme 3.4, il vient

$$\begin{eqnarray}\displaystyle W_{N^{2}}(G_{a,b}^{(k)})(\unicode[STIX]{x1D70F}) & = & \displaystyle i^{k}N^{-k}\unicode[STIX]{x1D70F}^{-k}N^{k-2}\mathop{\sum }_{c\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-bc}(N\unicode[STIX]{x1D70F})^{k}F_{c,-a}^{(k)}(N\unicode[STIX]{x1D70F})\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle i^{k}N^{k-2}\mathop{\sum }_{c\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-bc}F_{c,-a}^{(k)}(N\unicode[STIX]{x1D70F}).\nonumber\end{eqnarray}$$

En utilisant le développement de Fourier de $F^{(k)}$ (lemme 3.3), on obtient

$$\begin{eqnarray}\displaystyle W_{N^{2}}(G_{a,b}^{(k)})(\unicode[STIX]{x1D70F}) & = & \displaystyle i^{k}N^{k-2}\mathop{\sum }_{c\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-bc}a_{0}(F_{c,-a}^{(k)})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,i^{k}N^{k-2}\mathop{\sum }_{c\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-bc}N^{1-k}\mathop{\sum }_{m,n\geqslant 1}(\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a}(m)\unicode[STIX]{x1D6FF}_{c}(n)+(-1)^{k}\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a}(m)\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-c}(n))n^{k-1}q^{mn}\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle i^{k}N^{k-2}\mathop{\sum }_{c\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-bc}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{c}{N},1-k\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,\frac{i^{k}}{N}\mathop{\sum }_{m,n\geqslant 1}(\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a}(m)\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{b}(n)+(-1)^{k}\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a}(m)\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-b}(n))n^{k-1}q^{mn}\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \frac{i^{k}}{N}\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b}{N},1-k\biggr)+\mathop{\sum }_{m,n\geqslant 1}(\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a}(m)\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{b}(n)+(-1)^{k}\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a}(m)\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-b}(n))n^{k-1}q^{mn}\biggr).\Box \nonumber\end{eqnarray}$$

Dans le cas du poids $2$ , on a également les résultats suivants.

Lemme 3.11. Soient $b,b^{\prime }\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}$ . La fonction $G_{0,b^{\prime }}^{(2)}(\unicode[STIX]{x1D70F}/N)-G_{0,b}^{(2)}(\unicode[STIX]{x1D70F}/N)$ est une forme modulaire de poids $2$ pour $\unicode[STIX]{x1D6E4}(N)$ . En particulier $G_{0,b^{\prime }}^{(2)}-G_{0,b}^{(2)}$ est modulaire pour $\unicode[STIX]{x1D6E4}_{1}(N^{2})$ . De plus on a

(12) $$\begin{eqnarray}\displaystyle W_{N^{2}}(G_{0,b^{\prime }}^{(2)}-G_{0,b}^{(2)})=-\frac{1}{N}(H_{0,b^{\prime }}^{(2)}-H_{0,b}^{(2)}). & & \displaystyle\end{eqnarray}$$

En particulier $H_{0,b^{\prime }}^{(2)}-H_{0,b}^{(2)}$ est une forme modulaire de poids $2$ pour $\unicode[STIX]{x1D6E4}_{1}(N^{2})$ .

Démonstration.

Le caractère modulaire de $G_{0,b^{\prime }}^{(2)}-G_{0,b}^{(2)}$ résulte de la formule explicite

$$\begin{eqnarray}\displaystyle G_{0,b^{\prime }}^{(2)}(\unicode[STIX]{x1D70F}/N)-G_{0,b}^{(2)}(\unicode[STIX]{x1D70F}/N)=\mathop{\sum }_{\substack{ c\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z} \\ c\neq 0}}(\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-b^{\prime }c}-\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-bc})F_{0,c}^{(2)}(\unicode[STIX]{x1D70F}). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Un calcul analogue au lemme 3.10 mène alors à (12). ◻

Pour terminer cette section, nous déterminons la fonction $L$ associée à $H_{a,b}^{(k)}$ (voir [Kat04, 3.10] pour le cas des séries $E_{a,b}^{(k)}$ et $F_{a,b}^{(k)}$ ).

Rappelons que si $f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(f)q^{n}$ est une forme modulaire de poids $k\geqslant 1$ pour $\unicode[STIX]{x1D6E4}_{1}(N)$ , alors la fonction $L$ de $f$ est définie par $L(f,s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(f)n^{-s}$ pour $\Re (s)>k$ .

Définition 3.12. Pour $f\in M_{k}(\unicode[STIX]{x1D6E4}_{1}(N))$ , on pose $f^{\ast }=f-a_{0}(f)$ .

La fonction $L$ complétée de $f$ est définie par

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D6EC}(f,s):=N^{s/2}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{-s}\unicode[STIX]{x1D6E4}(s)L(f,s)=N^{s/2}\int _{0}^{\infty }f^{\ast }(iy)y^{s}\,\frac{dy}{y}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Elle se prolonge en une fonction méromorphe sur $\mathbf{C}$ qui vérifie l’équation fonctionnelle

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D6EC}(f,s)=\unicode[STIX]{x1D6EC}(W_{N}f,k-s)\quad (f\in M_{k}(\unicode[STIX]{x1D6E4}_{1}(N))). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

De plus, la fonction $\unicode[STIX]{x1D6EC}(f,s)+a_{0}(f)/s+a_{0}(W_{N}f)/(k-s)$ est holomorphe sur $\mathbf{C}$  [Miy06, Theorem 4.3.5].

Définition 3.13. Les valeurs régularisées de $\unicode[STIX]{x1D6EC}(f,s)$ en $s=0$ et $s=k$ sont définies par

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }(f,0):=\lim _{s\rightarrow 0}\biggl(\unicode[STIX]{x1D6EC}(f,s)+\frac{a_{0}(f)}{s}\biggr), & \displaystyle \nonumber\\ \displaystyle & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }(f,k):=\lim _{s\rightarrow k}\biggl(\unicode[STIX]{x1D6EC}(f,s)+\frac{a_{0}(W_{N}f)}{k-s}\biggr). & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Notons que $\unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }(f,k)=\unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }(W_{N}f,0)$ pour tout $f\in M_{k}(\unicode[STIX]{x1D6E4}_{1}(N))$ .

Lemme 3.14. Soit $k\geqslant 1$ et $a,b\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}$ , avec $a\neq 0$ si $k=2$ . Alors

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D6EC}(H_{a,b}^{(k)},s)=N^{s}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{-s}\unicode[STIX]{x1D6E4}(s)\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a}{N},s\biggr)\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b}{N},s-k+1\biggr)\!+(-1)^{k}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a}{N},s\biggr)\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b}{N},s-k+1\biggr)\biggr). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Dans le cas $k=2$ , soient $b,b^{\prime }\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}$ . Alors

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D6EC}(H_{0,b^{\prime }}^{(2)}-H_{0,b}^{(2)},s) & = & \displaystyle N^{s}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{-s}\unicode[STIX]{x1D6E4}(s)\unicode[STIX]{x1D701}(s)(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b^{\prime }}{N},s-1\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b^{\prime }}{N},s-1\biggr)-\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b}{N},s-1\biggr)-\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b}{N},s-1\biggr)\!).\nonumber\end{eqnarray}$$

Démonstration.

Cela résulte des définitions. ◻

4 Cycles de Shokurov

Soit $N\geqslant 3$ un entier. Soit $Y(N)$ le courbe modulaire de niveau $N$ définie sur $\mathbf{Q}$ , et soit $E$ la courbe elliptique universelle au-dessus de $Y(N)$ . Fixons un entier $n\geqslant 0$ . Notons $E^{n}$ la puissance fibrée $n$ -ième de $E$ au-dessus de $Y(N)$ . C’est une variété abélienne de dimension relative $n$ sur $Y(N)$ . Les points complexes de $E^{n}$ sont décrits par l’isomorphisme [Den97, (3.6)]

$$\begin{eqnarray}\displaystyle E^{n}(\mathbf{C})=(\mathbf{Z}^{2n}\rtimes \text{SL}_{2}(\mathbf{Z}))\backslash ({\mathcal{H}}\times \mathbf{C}^{n}\times \text{GL}_{2}(\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

On note $\unicode[STIX]{x1D70E}=\big(\!\begin{smallmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{smallmatrix}\!\big)$ . Pour tout entier $0\leqslant j\leqslant n$ , on définit le cycle de Shokurov

$$\begin{eqnarray}\displaystyle X^{j}Y^{n-j}\{0,\infty \}=\{(iy;it_{1}y,\ldots ,it_{j}y,t_{j+1},\ldots ,t_{n};\unicode[STIX]{x1D70E}):y>0,t_{1},\ldots ,t_{n}\in [0,1]\}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

C’est un $(n+1)$ -cycle sur $E^{n}(\mathbf{C})$ , muni de l’orientation produit. Il est naturellement fibré au-dessus du symbole modulaire $\{0,\infty \}$ . Notons $f_{j}:X^{j}Y^{n-j}\{0,\infty \}\rightarrow \{0,\infty \}$ cette fibration.

Définition 4.1. Pour $y>0$ , on note $\unicode[STIX]{x1D6FE}_{y,j}$ la fibre de $f_{j}$ au-dessus du point $iy$ .

On a donc

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D6FE}_{y,j}=\{(iy,it_{1}y,\ldots ,it_{j}y,t_{j+1},\ldots ,t_{n},\unicode[STIX]{x1D70E}):t_{1},\ldots ,t_{n}\in [0,1]\}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

5 Symbole d’Eisenstein

On note $X(N)$ la compactification de $Y(N)$ , et on note $X^{\infty }=X(N)-Y(N)$ l’ensemble des pointes de $X(N)$ , vu comme sous-schéma fermé de $X(N)$ . On a une bijection

$$\begin{eqnarray}\displaystyle P(\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})\backslash \text{GL}_{2}(\mathbf{Z}/N\mathbf{Z}) & \xrightarrow[{}]{\cong } & \displaystyle X^{\infty }\nonumber\\ \displaystyle [g] & \mapsto & \displaystyle g\infty \nonumber\end{eqnarray}$$

où $P$ est le sous-groupe algébrique de $\text{SL}_{2}$ formé des matrices de la forme $\pm \big(\!\begin{smallmatrix}1 & \ast \\ 0 & 1\end{smallmatrix}\!\big)$ . Pour tout entier $n\geqslant 0$ , on définit

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \mathbf{Q}[X^{\infty }]^{(n)}=\left\{f:\text{GL}_{2}(\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})\rightarrow \mathbf{Q}:f\left(\left(\begin{array}{@{}cc@{}}\ast & \ast \\ 0 & 1\end{array}\right)g\right)=f(g)=(-1)^{n}f(-g)\right\}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Ce groupe est (non canoniquement) isomorphe au groupe des diviseurs sur $X^{\infty }$ .

Fixons un entier $n\geqslant 0$ . On dispose d’une application résidu

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \text{Res}^{n}:H_{{\mathcal{M}}}^{n+1}(E^{n},\mathbf{Q}(n+1))\rightarrow \mathbf{Q}[X^{\infty }]^{(n)} & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

généralisant l’application diviseur pour $n=0$ . Notons $V_{0}$ le sous-groupe de $\mathbf{Q}[X^{\infty }]^{(0)}$ formé des diviseurs de degré $0$ , et notons $V_{n}=\mathbf{Q}[X^{\infty }]^{(n)}$ pour $n\geqslant 1$ . L’image de l’application $\text{Res}^{n}$ est égale à $V_{n}$ (généralisation du théorème de Manin–Drinfeld). Le symbole d’Eisenstein, construit par Beilinson, est une application canonique

telle que 

Notons $\unicode[STIX]{x1D714}^{n}:\mathbf{Q}[(\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})^{2}]\rightarrow \mathbf{Q}[X^{\infty }]^{(n)}$ l’application horosphérique, définie par

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D714}^{n}(\unicode[STIX]{x1D719})(g)=\mathop{\sum }_{v\in (\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})^{2}}\unicode[STIX]{x1D719}(g^{-1}v)B_{n+2}\biggl(\biggl\{\frac{v_{2}}{N}\biggr\}\biggr). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Dans le cas $n=0$ , l’application $\unicode[STIX]{x1D714}^{0}$ induit une surjection de $\mathbf{Q}[(\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})^{2}\backslash \{0\}]$ dans $V_{0}$ ; dans le cas $n\geqslant 1$ , l’application $\unicode[STIX]{x1D714}^{n}$ est surjective [SS91, 7.5] (la preuve donnée dans cet article marche également pour $n=0$ ).

Définition 5.1. Soit $u\in (\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})^{2}$ . Dans le cas $n=0$ , on suppose $u\neq 0$ . On définit

(13)

où $\unicode[STIX]{x1D719}_{u}$ est la fonction caractéristique de $\{u\}$ .

Notons que $\text{Eis}^{0}(u)$ n’est autre que l’unité de Siegel $g_{u}\otimes (2/N)$  [Kat04, § 1].

Par définition, on a $\text{Res}^{n}(\text{Eis}^{n}(u))=\unicode[STIX]{x1D714}^{n}(\unicode[STIX]{x1D719}_{u})$ ; l’application horosphérique donne donc les résidus des symboles d’Eisenstein.

Le groupe $G=\text{GL}_{2}(\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})$ agit à gauche sur $E^{n}$ . Sur les points complexes, cette action est induite par $\unicode[STIX]{x1D6FE}\cdot (\unicode[STIX]{x1D70F},z,g)=(\unicode[STIX]{x1D70F},z,g^{t}\unicode[STIX]{x1D6FE})$ . On en déduit une action à droite de $G$ sur $H_{{\mathcal{M}}}^{n+1}(E^{n},\mathbf{Q}(n+1))$ . Les applications $\text{Res}^{n}$ et  étant $G$ -équivariantes, on a le lemme suivant.

Lemme 5.2. Pour tout $g\in G$ , et pour tout $u\in (\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})^{2}$ (avec $u\neq 0$ si $n=0$ ), on a

(14) $$\begin{eqnarray}\displaystyle g^{\ast }\,\text{Eis}^{n}(u)=\text{Eis}^{n}(ug). & & \displaystyle\end{eqnarray}$$

Dans la suite de cette section, nous rappelons la description explicite de la réalisation du symbole d’Eisenstein en cohomologie de Deligne [Bei86, Den97, DS91].

Commençons par quelques rappels sur la cohomologie de Deligne $H_{{\mathcal{D}}}^{i}(X/\mathbf{R},\mathbf{R}(j))$ associée à un schéma $X$ lisse et quasi-projectif sur $\mathbf{R}$ . Notons ${\mathcal{S}}^{\cdot }(X,\mathbf{R}(n))$ le complexe des formes différentielles ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur $X(\mathbf{C})$ à valeurs dans $\mathbf{R}(n)=(2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{n}\mathbf{R}$ vérifiant $c^{\ast }\unicode[STIX]{x1D714}=(-1)^{n}\unicode[STIX]{x1D714}$ , où $c$ désigne la conjugaison complexe sur $X(\mathbf{C})$ . Par la résolution des singularités, il existe une compactification lisse $\overline{X}$ de $X$ telle que $X^{\infty }:=\overline{X}-X$ soit un diviseur à croisements normaux. Pour un entier $m\geqslant 0$ , notons $\unicode[STIX]{x1D6FA}_{\overline{X}}^{m}\langle X^{\infty }\rangle$ le $\mathbf{C}$ -espace vectoriel des $m$ -formes holomorphes sur $X(\mathbf{C})$ à singularités logarithmiques le long de $X^{\infty }(\mathbf{C})$ . Pour toute forme différentielle $\unicode[STIX]{x1D6FC}$ et tout entier $n\in \mathbf{Z}$ , notons $\unicode[STIX]{x1D70B}_{n}(\unicode[STIX]{x1D6FC})=\frac{1}{2}(\unicode[STIX]{x1D6FC}+(-1)^{n}\overline{\unicode[STIX]{x1D6FC}})$ .

Proposition 5.3 [DS91, (2.5.1)].

Pour tout entier $n\geqslant 0$ , on a un isomorphisme

$$\begin{eqnarray}\displaystyle H_{{\mathcal{D}}}^{n+1}(X/\mathbf{R},\mathbf{R}(n+1))\cong \frac{\{\unicode[STIX]{x1D719}\in {\mathcal{S}}^{n}(X,\mathbf{R}(n))\mid d\unicode[STIX]{x1D719}=\unicode[STIX]{x1D70B}_{n}(\unicode[STIX]{x1D714})\text{ avec }\unicode[STIX]{x1D714}\in \unicode[STIX]{x1D6FA}_{\overline{X}}^{n+1}\langle X^{\infty }\rangle \}}{d{\mathcal{S}}^{n-1}(X,\mathbf{R}(n))}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Pour décrire la réalisation du symbole d’Eisenstein en cohomologie de Deligne, considérons maintenant l’application régulateur notée  définie par Beilinson,

D’après la proposition 5.3, les éléments de $H_{{\mathcal{D}}}^{n+1}(E^{n}/\mathbf{R},\mathbf{R}(n+1))$ sont représentés par des $n$ -formes différentielles sur $E^{n}(\mathbf{C})$ . Nous noterons $(\unicode[STIX]{x1D70F};z_{1},\ldots ,z_{n};g)$ les coordonnées naturelles sur $E^{n}(\mathbf{C})$ , avec $\unicode[STIX]{x1D70F}\in {\mathcal{H}}$ , $z_{i}\in \mathbf{C}$ , $g\in \text{GL}_{2}(\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})$ , et nous poserons $q=e^{2i\unicode[STIX]{x1D70B}\unicode[STIX]{x1D70F}}$ . Pour tous entiers $a,b\geqslant 0$ tels que $a+b=n$ , définissons la $n$ -forme différentielle sur $\mathbf{C}^{n}$ ,

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D713}_{a,b}=\frac{1}{n!}\mathop{\sum }_{\unicode[STIX]{x1D70E}\in \mathfrak{S}_{n}}\unicode[STIX]{x1D700}(\unicode[STIX]{x1D70E})d\overline{z}_{\unicode[STIX]{x1D70E}(1)}\wedge \cdots \wedge d\overline{z}_{\unicode[STIX]{x1D70E}(b)}\wedge dz_{\unicode[STIX]{x1D70E}(b+1)}\wedge \cdots \wedge dz_{\unicode[STIX]{x1D70E}(n)}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

D’après [Den97, (3.12), (3.28)] et [HK99, Remark after Lemma 7.1], on a la proposition suivante.

Proposition 5.4. Soit $u\in (\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})^{2}$ , avec $u\neq 0$ dans le cas $n=0$ . L’élément  est représenté par une $n$ -forme différentielle $\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{n}(u)$ vérifiant

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{n}(u)=-\frac{n!(n+2)}{2i\unicode[STIX]{x1D70B}N}\frac{\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}}{2}\mathop{\sum }_{a=0}^{n}\biggl(\,\sum ^{\prime }_{(c,d)\in \mathbf{Z}^{2}}\frac{\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{c(gu)_{1}+d(gu)_{2}}}{(c\unicode[STIX]{x1D70F}+d)^{a+1}(c\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}+d)^{n+1-a}}\biggr)\unicode[STIX]{x1D713}_{a,n-a}\hspace{0.6em}{\rm mod}\hspace{0.2em}d\unicode[STIX]{x1D70F},d\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

De plus, on a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle d\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{n}(u)=\unicode[STIX]{x1D70B}_{n}(\text{Eis}_{\text{hol}}^{n}(u)) & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

où $\text{Eis}_{\text{hol}}^{n}(u)$ est la série d’Eisenstein holomorphe de poids $n+2$ définie par

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \text{Eis}_{\text{hol}}^{n}(u)=-\frac{(n+2)!}{(2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{2}N}\sum ^{\prime }_{(c,d)\in \mathbf{Z}^{2}}\frac{\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{c(gu)_{1}+d(gu)_{2}}}{(c\unicode[STIX]{x1D70F}+d)^{n+2}}\frac{dq}{q}\wedge dz_{1}\wedge \cdots \wedge dz_{n}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Remarque 5.5. Pour $n=0$ , les séries intervenant dans $\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{0}(u)$ et $\text{Eis}_{\text{hol}}^{0}(u)$ ne convergent pas absolument et on a recours à la sommation d’Eisenstein ou de Kronecker pour leur donner un sens [Wei99, ch. VIII, § 9].

6 Éléments de Deninger–Scholl

Dans cette section, nous rappelons la définition des éléments de Deninger–Scholl et calculons explicitement leurs réalisations en cohomologie de Deligne.

Soit $k\geqslant 0$ un entier. On choisit une décomposition $k=k_{1}+k_{2}$ avec $k_{1},k_{2}\geqslant 0$ . Considérons les projections canoniques $p_{1}:E^{k_{1}+k_{2}}\rightarrow E^{k_{1}}$ et $p_{2}:E^{k_{1}+k_{2}}\rightarrow E^{k_{2}}$ . Les éléments suivants, définis par Gealy dans [Gea05], sont une généralisation des éléments de Beilinson–Kato et Deninger–Scholl.

Définition 6.1. Soient $u_{1},u_{2}\in (\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})^{2}$ . Dans le cas où $k_{i}=0$ , on suppose $u_{i}\neq 0$ . On pose

(15) $$\begin{eqnarray}\displaystyle \text{Eis}^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2})=p_{1}^{\ast }\,\text{Eis}^{k_{1}}(u_{1})\cup p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}^{k_{2}}(u_{2})\in H_{{\mathcal{M}}}^{k+2}(E^{k},\mathbf{Q}(k+2)). & & \displaystyle\end{eqnarray}$$

Dans le cas $k=0$ , on retrouve les éléments de Beilinson–Kato dans le $K_{2}$ de la courbe modulaire $Y(N)$  [Kat04]. Notons également la relation $\text{Eis}^{0,k}(u_{2},u_{1})=(-1)^{k+1}\,\text{Eis}^{k,0}(u_{1},u_{2})$ , qui découle du caractère commutatif gradué du cup-produit [DS91, (1.3), Theorem (2)].

Pour décrire la réalisation de ces éléments en cohomologie de Deligne, considérons le régulateur de Beilinson

Les éléments de $H_{{\mathcal{D}}}^{k+2}(E^{k}/\mathbf{R},\mathbf{R}(k+2))$ sont représentés par des $(k+1)$ -formes différentielles fermées sur $E^{k}(\mathbf{C})$ . En effet, comme $E^{k}$ est de dimension $k+1$ , il n’y a pas de $(k+2)$ -forme holomorphe sur $E^{k}(\mathbf{C})$ , et la proposition 5.3 entraîne un isomorphisme

$$\begin{eqnarray}\displaystyle H_{{\mathcal{D}}}^{k+2}(E^{k}/\mathbf{R},\mathbf{R}(k+2))\cong H^{k+1}({\mathcal{S}}^{\cdot }(E^{k}/\mathbf{R},\mathbf{R}(k+1))). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Lemme 6.2. L’élément  est représenté par la forme différentielle fermée

(16) $$\begin{eqnarray}\displaystyle \text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2}) & = & \displaystyle p_{1}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1}}(u_{1})\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{2}+1}(p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{2}}(u_{2}))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,(-1)^{k_{1}+1}\unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{1}+1}(p_{1}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{1}}(u_{1}))\wedge p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{2}}(u_{2}).\end{eqnarray}$$

Démonstration.

Cela résulte de la proposition 5.4 et de la formule pour le cup-produit en cohomologie de Deligne [DS91, (2.5)]. ◻

7 La méthode de Rogers–Zudilin

Rogers et Zudilin [RZ12] ont introduit une nouvelle méthode permettant de calculer certaines mesures de Mahler en termes de valeurs de fonctions $L$ . Cette méthode est basée sur un changement de variables astucieux dans une intégrale le long du symbole modulaire $\{0,\infty \}$ . Dans cette section, nous expliquons cette méthode dans un cadre assez général (voir également l’interprétation proposée dans [DNS15]). L’identité obtenue (proposition 7.2) est la clé de notre calcul du régulateur.

Introduisons, pour des fonctions $\unicode[STIX]{x1D6FC},\unicode[STIX]{x1D6FD}:\mathbf{Z}/N\mathbf{Z}\rightarrow \mathbf{C}$ et des nombres complexes $t,u\in \mathbf{C}$ , la série suivante

(17) $$\begin{eqnarray}\displaystyle S_{\unicode[STIX]{x1D6FC},\unicode[STIX]{x1D6FD}}^{t,u}(\unicode[STIX]{x1D70F})=\mathop{\sum }_{m\geqslant 1}\mathop{\sum }_{n\geqslant 1}\unicode[STIX]{x1D6FC}(m)\unicode[STIX]{x1D6FD}(n)m^{t}n^{u}q^{mn/N}\quad (q=e^{2i\unicode[STIX]{x1D70B}\unicode[STIX]{x1D70F}}). & & \displaystyle\end{eqnarray}$$

Cette série définit une fonction holomorphe sur ${\mathcal{H}}$ .

Lemme 7.1. Pour $s\in \mathbf{C}$ , $\Re (s)\gg 0$ , la fonction $y\mapsto S_{\unicode[STIX]{x1D6FC},\unicode[STIX]{x1D6FD}}^{t,u}(iy)y^{s-1}$ est intégrable sur $]\!0,+\infty \![$ , et on a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \int _{0}^{\infty }S_{\unicode[STIX]{x1D6FC},\unicode[STIX]{x1D6FD}}^{t,u}(iy)y^{s}\,\frac{dy}{y}=\biggl(\frac{2\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{-s}\unicode[STIX]{x1D6E4}(s)L(\unicode[STIX]{x1D6FC},s-t)L(\unicode[STIX]{x1D6FD},s-u). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Pour $s\in \mathbf{C}$ , $\Re (s)\ll 0$ , la fonction $y\mapsto S_{\unicode[STIX]{x1D6FC},\unicode[STIX]{x1D6FD}}^{t,u}(i/y)y^{s-1}$ est intégrable sur $]\!0,+\infty \![$ , et on a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \int _{0}^{\infty }S_{\unicode[STIX]{x1D6FC},\unicode[STIX]{x1D6FD}}^{t,u}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)y^{s}\,\frac{dy}{y}=\biggl(\frac{2\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{s}\unicode[STIX]{x1D6E4}(-s)L(\unicode[STIX]{x1D6FC},-s-t)L(\unicode[STIX]{x1D6FD},-s-u). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Démonstration (Voir [DNS15, § 3]).

La fonction $S_{\unicode[STIX]{x1D6FC},\unicode[STIX]{x1D6FD}}^{t,u}(iy)$ décroît exponentiellement lorsque $y\rightarrow +\infty$ , et croît au plus polynomialement en $1/y$ lorsque $y\rightarrow 0$ . La première intégrale converge donc pour $\Re (s)\gg 0$ , et une simple interversion somme-intégrale mène alors au résultat. La seconde assertion résulte d’un calcul similaire.◻

Nous pouvons maintenant énoncer la proposition-clé à la base de la méthode de Rogers–Zudilin.

Proposition 7.2. Soient $t_{1},u_{1},t_{2},u_{2},s\in \mathbf{C}$ des nombres complexes, et soient $\unicode[STIX]{x1D6FC}_{1},\unicode[STIX]{x1D6FD}_{1},\unicode[STIX]{x1D6FC}_{2},\unicode[STIX]{x1D6FD}_{2}:\mathbf{Z}/N\mathbf{Z}\rightarrow \mathbf{C}$ des fonctions. On a

(18) $$\begin{eqnarray}\displaystyle \int _{0}^{\infty }S_{\unicode[STIX]{x1D6FC}_{1},\unicode[STIX]{x1D6FD}_{1}}^{t_{1},u_{1}}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)S_{\unicode[STIX]{x1D6FC}_{2},\unicode[STIX]{x1D6FD}_{2}}^{t_{2},u_{2}}(iy)y^{s}\,\frac{dy}{y}=\int _{0}^{\infty }S_{\unicode[STIX]{x1D6FC}_{1},\unicode[STIX]{x1D6FC}_{2}}^{t_{1}+s,t_{2}}(iy)S_{\unicode[STIX]{x1D6FD}_{1},\unicode[STIX]{x1D6FD}_{2}}^{u_{1},u_{2}-s}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)y^{s}\,\frac{dy}{y}. & & \displaystyle\end{eqnarray}$$

Démonstration.

Voir [DNS15, Theorem 3.2]. ◻

8 Quelques développements de Fourier

Dans cette section, nous calculons le développement de Fourier de la réalisation du symbole d’Eisenstein en cohomologie de Deligne. Commençons par rappeler le développement de Fourier de $\text{Eis}_{\text{hol}}^{n}(u)$ , qui a en fait déjà été déterminé dans la § 3.

Proposition 8.1. Soit $n\geqslant 0$ un entier, et soit $u\in (\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})^{2}$ (avec $u\neq 0$ si $n=0$ ). Alors

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \text{Eis}_{\text{hol}}^{n}(u)=(-1)^{n+1}\frac{n+2}{N}(2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{n}F_{\unicode[STIX]{x1D70E}gu}^{(n+2)}(\unicode[STIX]{x1D70F})\,\frac{dq}{q}\wedge \,dz_{1}\wedge \cdots \wedge \,dz_{n}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Démonstration.

Par définition, on a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \sum ^{\prime }_{(c,d)\in \mathbf{Z}^{2}}\frac{\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{c(gu)_{1}+d(gu)_{2}}}{(c\unicode[STIX]{x1D70F}+d)^{n+2}} & = & \displaystyle \frac{(-2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{n+2}}{(n+1)!}{\mathcal{K}}_{n+2}\biggl(n+2,\unicode[STIX]{x1D70F},0,\frac{-(gu)_{2}\unicode[STIX]{x1D70F}+(gu)_{1}}{N}\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \frac{(-2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{n+2}}{(n+1)!}F_{-(gu)_{2},(gu)_{1}}^{(n+2)}(\unicode[STIX]{x1D70F})\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \frac{(-2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{n+2}}{(n+1)!}F_{\unicode[STIX]{x1D70E}gu}^{(n+2)}(\unicode[STIX]{x1D70F}).\nonumber\end{eqnarray}$$

On en déduit le résultat. ◻

La forme différentielle $\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{n}(u)$ étant invariante par $\unicode[STIX]{x1D70F}\mapsto \unicode[STIX]{x1D70F}+N$ , elle possède un développement de Fourier en la variable $q^{1/N}=e^{2i\unicode[STIX]{x1D70B}\unicode[STIX]{x1D70F}/N}$ .

Introduisons, pour des entiers $a,b\geqslant 0$ , et $u=(u_{1},u_{2})\in (\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})^{2}$ , les séries d’Eisenstein analytiques réelles suivantes

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & \displaystyle E_{u}^{a,b}(\unicode[STIX]{x1D70F})=\sum ^{\prime }_{(m,n)\equiv (u_{1},u_{2})(N)}\frac{1}{(m\unicode[STIX]{x1D70F}+n)^{a+1}(m\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}+n)^{b+1}}\quad (\unicode[STIX]{x1D70F}\in {\mathcal{H}}), & \displaystyle \nonumber\\ \displaystyle & \displaystyle F_{u}^{a,b}(\unicode[STIX]{x1D70F})=\sum ^{\prime }_{(m,n)\in \mathbf{Z}^{2}}\frac{\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{mu_{1}+nu_{2}}}{(m\unicode[STIX]{x1D70F}+n)^{a+1}(m\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}+n)^{b+1}}\quad (\unicode[STIX]{x1D70F}\in {\mathcal{H}}). & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

On a donc

(19) $$\begin{eqnarray}\displaystyle F_{u}^{a,b}=\mathop{\sum }_{x,y\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{xu_{1}+yu_{2}}E_{(x,y)}^{a,b}. & & \displaystyle\end{eqnarray}$$

D’après la proposition 5.4 et la définition de $F_{u}^{a,b}$ , on a

(20) $$\begin{eqnarray}\displaystyle \text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{n}(u)=-\frac{n!(n+2)}{2i\unicode[STIX]{x1D70B}N}\frac{\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}}{2}\mathop{\sum }_{a=0}^{n}F_{gu}^{a,n-a}(\unicode[STIX]{x1D70F})\unicode[STIX]{x1D713}_{a,n-a}\hspace{0.6em}{\rm mod}\hspace{0.2em}d\unicode[STIX]{x1D70F},d\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}. & & \displaystyle\end{eqnarray}$$

Pour des entiers $k,\ell \in \mathbf{Z}$ et des fonctions $\unicode[STIX]{x1D6FC},\unicode[STIX]{x1D6FD}:\mathbf{Z}/N\mathbf{Z}\rightarrow \mathbf{C}$ , nous poserons également

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \overline{S}_{\unicode[STIX]{x1D6FC},\unicode[STIX]{x1D6FD}}^{k,\ell }(\unicode[STIX]{x1D70F})=\overline{S_{\unicode[STIX]{x1D6FC},\unicode[STIX]{x1D6FD}}^{k,\ell }(\unicode[STIX]{x1D70F})}=\mathop{\sum }_{m\geqslant 1}\mathop{\sum }_{n\geqslant 1}\overline{\unicode[STIX]{x1D6FC}}(m)\overline{\unicode[STIX]{x1D6FD}}(n)m^{k}n^{\ell }\overline{q}^{mn/N}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Proposition 8.2. Pour $a,b\geqslant 0$ et $u_{1},u_{2}\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}$ , on a

(21) $$\begin{eqnarray}\displaystyle E_{(u_{1},u_{2})}^{a,b}(\unicode[STIX]{x1D70F}) & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6FF}_{0}(u_{1})N^{-a-b-2}\biggl(\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{u_{2}}{N},a+b+2\biggr)+(-1)^{a+b}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{u_{2}}{N},a+b+2\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,(-1)^{b}\frac{2i\unicode[STIX]{x1D70B}}{N^{a+b+2}}\left(\begin{array}{@{}c@{}}a+b\\ a\end{array}\right) (\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{u_{1}}{N},a+b+1\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,(-1)^{a+b}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{u_{1}}{N},a+b+1\biggr)\!)(\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}})^{-a-b-1}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,\frac{(-1)^{b+1}}{b!}\mathop{\sum }_{j=0}^{a}\frac{(a+b-j)!}{j!(a-j)!}\biggl(-\frac{2i\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{j+1}(\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}})^{-a-b-1+j} (S_{\unicode[STIX]{x1D6FF}_{u_{1}},\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-u_{2}}}^{j-a-b-1,j}(\unicode[STIX]{x1D70F})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,(-1)^{a+b}S_{\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-u_{1}},\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{u_{2}}}^{j-a-b-1,j}(\unicode[STIX]{x1D70F}))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,\frac{(-1)^{b+1}}{a!}\mathop{\sum }_{j=0}^{b}\frac{(a+b-j)!}{j!(b-j)!}\biggl(-\frac{2i\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{j+1}(\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}})^{-a-b-1+j} (\overline{S}_{\unicode[STIX]{x1D6FF}_{u_{1}},\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-u_{2}}}^{j-a-b-1,j}(\unicode[STIX]{x1D70F})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,(-1)^{a+b}\overline{S}_{\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-u_{1}},\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{u_{2}}}^{j-a-b-1,j}(\unicode[STIX]{x1D70F})).\end{eqnarray}$$

Démonstration.

On suit la méthode classique [Sch74, ch. III, § 2] pour déterminer le développement de Fourier des séries d’Eisenstein. Pour $a,b\geqslant 0$ , $\unicode[STIX]{x1D70F}\in \mathbf{C}-\mathbf{R}$ et $x\in \mathbf{R}$ , posons

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D719}_{a,b,\unicode[STIX]{x1D70F}}(x)=\mathop{\sum }_{n\in \mathbf{Z}}\frac{1}{(\unicode[STIX]{x1D70F}+n+x)^{a+1}(\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}+n+x)^{b+1}}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Cette série converge et définit une fonction $1$ -périodique de $x$ . Rappelons le calcul classique de son développement de Fourier

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D719}_{a,b,\unicode[STIX]{x1D70F}}(x)=\mathop{\sum }_{r\in \mathbf{Z}}c_{r}(\unicode[STIX]{x1D719}_{a,b,\unicode[STIX]{x1D70F}})e^{2i\unicode[STIX]{x1D70B}rx}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Lemme 8.3. On a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle c_{r}(\unicode[STIX]{x1D719}_{a,b,\unicode[STIX]{x1D70F}})=\left\{\begin{array}{@{}ll@{}}\displaystyle \frac{(-1)^{b}}{b!}2i\unicode[STIX]{x1D70B}\mathop{\sum }_{j=0}^{a}(-1)^{j}\frac{(a+b-j)!}{j!(a-j)!}(\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}})^{-a-b-1+j}(2i\unicode[STIX]{x1D70B}r)^{j}e^{2i\unicode[STIX]{x1D70B}r\unicode[STIX]{x1D70F}}\quad & \text{si }\unicode[STIX]{x1D70F}\in {\mathcal{H}},r\geqslant 1,\\ \displaystyle \frac{(-1)^{b}}{a!}2i\unicode[STIX]{x1D70B}\mathop{\sum }_{j=0}^{b}\frac{(a+b-j)!}{j!(b-j)!}(\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}})^{-a-b-1+j}(2i\unicode[STIX]{x1D70B}r)^{j}e^{2i\unicode[STIX]{x1D70B}r\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}}\quad & \text{si }\unicode[STIX]{x1D70F}\in {\mathcal{H}},r\leqslant -1,\\ \displaystyle (-1)^{b}2i\unicode[STIX]{x1D70B}\left(\begin{array}{@{}c@{}}a+b\\ a\end{array}\right)(\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}})^{-a-b-1}\quad & \text{si }\unicode[STIX]{x1D70F}\in {\mathcal{H}},r=0,\\ (-1)^{a+b}c_{-r}(\unicode[STIX]{x1D719}_{a,b,-\unicode[STIX]{x1D70F}})\quad & \text{si }\unicode[STIX]{x1D70F}\in -{\mathcal{H}}.\end{array}\right. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Démonstration.

Voir [Shi75, Lemma 1] et [Stu80, Lemma 5]. ◻

Exprimons maintenant $E_{u}^{a,b}$ en termes de $\unicode[STIX]{x1D719}_{a,b,\unicode[STIX]{x1D70F}}$ . On a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle E_{(u_{1},u_{2})}^{a,b}(\unicode[STIX]{x1D70F}) & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6FF}_{u_{1}=0}\sum ^{\prime }_{n\equiv u_{2}(N)}\frac{1}{n^{a+b+2}}+\mathop{\sum }_{\substack{ m\equiv u_{1}(N) \\ m\neq 0}}\mathop{\sum }_{n\in \mathbf{Z}}\frac{1}{(m\unicode[STIX]{x1D70F}+u_{2}+Nn)^{a+1}(m\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}+u_{2}+Nn)^{b+1}}\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6FF}_{u_{1}=0}\biggl(\mathop{\sum }_{\substack{ n\geqslant 1 \\ n\equiv u_{2}(N)}}\frac{1}{n^{a+b+2}}+\mathop{\sum }_{\substack{ n\leqslant -1 \\ n\equiv u_{2}(N)}}\frac{1}{n^{a+b+2}}\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,N^{-a-b-2}\mathop{\sum }_{\substack{ m\equiv u_{1}(N) \\ m\neq 0}}\mathop{\sum }_{n\in \mathbf{Z}}\frac{1}{((m\unicode[STIX]{x1D70F}+u_{2})/N+n)^{a+1}((m\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}+u_{2})/N+n)^{b+1}}\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6FF}_{u_{1}=0}\biggl(\mathop{\sum }_{\substack{ n\geqslant 1 \\ n\equiv u_{2}(N)}}\frac{1}{n^{a+b+2}}+(-1)^{a+b}\mathop{\sum }_{\substack{ n\geqslant 1 \\ n\equiv -u_{2}(N)}}\frac{1}{n^{a+b+2}}\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,N^{-a-b-2}\mathop{\sum }_{\substack{ m\equiv u_{1}(N) \\ m\neq 0}}\unicode[STIX]{x1D719}_{a,b,(m\unicode[STIX]{x1D70F}+u_{2})/N}(0)\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6FF}_{u_{1}=0}N^{-a-b-2}\biggl(\mathop{\sum }_{\substack{ x>0 \\ x\equiv (u_{2}/N)(1)}}\frac{1}{x^{a+b+2}}+(-1)^{a+b}\mathop{\sum }_{\substack{ x>0 \\ x\equiv -(u_{2}/N)(1)}}\frac{1}{x^{a+b+2}}\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,N^{-a-b-2}\mathop{\sum }_{\substack{ m\equiv u_{1}(N) \\ m\neq 0}}\mathop{\sum }_{r\in \mathbf{Z}}c_{r}(\unicode[STIX]{x1D719}_{a,b,(m\unicode[STIX]{x1D70F}+u_{2})/N})\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6FF}_{u_{1}=0}N^{-a-b-2}\biggl(\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{u_{2}}{N},a+b+2\biggr)+(-1)^{a+b}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{u_{2}}{N},a+b+2\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,N^{-a-b-2} (\mathop{\sum }_{\substack{ m\geqslant 1 \\ m\equiv u_{1}(N)}}\mathop{\sum }_{r\in \mathbf{Z}}c_{r}(\unicode[STIX]{x1D719}_{a,b,(m\unicode[STIX]{x1D70F}+u_{2})/N})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,(-1)^{a+b}\mathop{\sum }_{\substack{ m\geqslant 1 \\ m\equiv -u_{1}(N)}}\mathop{\sum }_{r\in \mathbf{Z}}c_{r}(\unicode[STIX]{x1D719}_{a,b,(m\unicode[STIX]{x1D70F}-u_{2})/N})\!).\nonumber\end{eqnarray}$$

On distingue ensuite suivant la valeur de $r$ , ce qui donne

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle E_{(u_{1},u_{2})}^{a,b}(\unicode[STIX]{x1D70F})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =\unicode[STIX]{x1D6FF}_{u_{1}=0}N^{-a-b-2}\biggl(\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{u_{2}}{N},a+b+2\biggr)+(-1)^{a+b}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{u_{2}}{N},a+b+2\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad +\,N^{-a-b-2}\mathop{\sum }_{\substack{ m\geqslant 1 \\ m\equiv u_{1}(N)}}(-1)^{b}2i\unicode[STIX]{x1D70B}\left(\begin{array}{@{}c@{}}a+b\\ a\end{array}\right)\biggl(\frac{m\unicode[STIX]{x1D70F}-m\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}}{N}\biggr)^{-a-b-1}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad +\,(-1)^{a+b}N^{-a-b-2}\mathop{\sum }_{\substack{ m\geqslant 1 \\ m\equiv -u_{1}(N)}}(-1)^{b}2i\unicode[STIX]{x1D70B}\left(\begin{array}{@{}c@{}}a+b\\ a\end{array}\right)\biggl(\frac{m\unicode[STIX]{x1D70F}-m\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}}{N}\biggr)^{-a-b-1}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad +\,N^{-a-b-2}\biggl(\mathop{\sum }_{\substack{ m\geqslant 1 \\ m\equiv u_{1}(N)}}\mathop{\sum }_{r\geqslant 1}c_{r}(\unicode[STIX]{x1D719}_{a,b,(m\unicode[STIX]{x1D70F}+u_{2})/N})+(-1)^{a+b}\mathop{\sum }_{\substack{ m\geqslant 1 \\ m\equiv -u_{1}(N)}}\mathop{\sum }_{r\geqslant 1}c_{r}(\unicode[STIX]{x1D719}_{a,b,(m\unicode[STIX]{x1D70F}-u_{2})/N})\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad +\,N^{-a-b-2} (\mathop{\sum }_{\substack{ m\geqslant 1 \\ m\equiv u_{1}(N)}}\mathop{\sum }_{r\leqslant -1}c_{r}(\unicode[STIX]{x1D719}_{a,b,(m\unicode[STIX]{x1D70F}+u_{2})/N})+(-1)^{a+b}\mathop{\sum }_{\substack{ m\geqslant 1 \\ m\equiv -u_{1}(N)}}\mathop{\sum }_{r\leqslant -1}c_{r}(\unicode[STIX]{x1D719}_{a,b,(m\unicode[STIX]{x1D70F}-u_{2})/N})\!).\nonumber\end{eqnarray}$$

En utilisant l’expression des coefficients de Fourier de $\unicode[STIX]{x1D719}_{a,b,\unicode[STIX]{x1D70F}}$ , il vient

$$\begin{eqnarray}\displaystyle E_{(u_{1},u_{2})}^{a,b}(\unicode[STIX]{x1D70F}) & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6FF}_{u_{1}=0}N^{-a-b-2}\biggl(\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{u_{2}}{N},a+b+2\biggr)+(-1)^{a+b}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{u_{2}}{N},a+b+2\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,(-1)^{b}\frac{2i\unicode[STIX]{x1D70B}}{N^{a+b+2}}\left(\begin{array}{@{}c@{}}a+b\\ a\end{array}\right) (\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{u_{1}}{N},a+b+1\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,(-1)^{a+b}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{u_{1}}{N},a+b+1\biggr)\!)(\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}})^{-a-b-1}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,N^{-a-b-2}\mathop{\sum }_{\substack{ m\geqslant 1 \\ m\equiv u_{1}(N)}}\mathop{\sum }_{r\geqslant 1}\frac{(-1)^{b}}{b!}2i\unicode[STIX]{x1D70B}\mathop{\sum }_{j=0}^{a}(-1)^{j}\frac{(a+b-j)!}{j!(a-j)!}\biggl(\frac{m(\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}})}{N}\biggr)^{-a-b-1+j}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,(2i\unicode[STIX]{x1D70B}r)^{j}e^{2i\unicode[STIX]{x1D70B}r((m\unicode[STIX]{x1D70F}+u_{2})/N)}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,\frac{(-1)^{a+b}}{N^{a+b+2}}\mathop{\sum }_{\substack{ m\geqslant 1 \\ m\equiv -u_{1}(N)}}\mathop{\sum }_{r\geqslant 1}\frac{(-1)^{b}}{b!}2i\unicode[STIX]{x1D70B}\mathop{\sum }_{j=0}^{a}(-1)^{j}\frac{(a+b-j)!}{j!(a-j)!}\biggl(\frac{m(\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}})}{N}\biggr)^{-a-b-1+j}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,(2i\unicode[STIX]{x1D70B}r)^{j}e^{2i\unicode[STIX]{x1D70B}r((m\unicode[STIX]{x1D70F}-u_{2})/N)}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,N^{-a-b-2}\mathop{\sum }_{\substack{ m\geqslant 1 \\ m\equiv u_{1}(N)}}\mathop{\sum }_{r\leqslant -1}\frac{(-1)^{b}}{a!}2i\unicode[STIX]{x1D70B}\mathop{\sum }_{j=0}^{b}\frac{(a+b-j)!}{j!(b-j)!}\biggl(\frac{m(\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}})}{N}\biggr)^{-a-b-1+j}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,(2i\unicode[STIX]{x1D70B}r)^{j}e^{2i\unicode[STIX]{x1D70B}r((m\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}+u_{2})/N)}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,\frac{(-1)^{a+b}}{N^{a+b+2}}\mathop{\sum }_{\substack{ m\geqslant 1 \\ m\equiv -u_{1}(N)}}\mathop{\sum }_{r\leqslant -1}\frac{(-1)^{b}}{a!}2i\unicode[STIX]{x1D70B}\mathop{\sum }_{j=0}^{b}\frac{(a+b-j)!}{j!(b-j)!}\biggl(\frac{m(\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}})}{N}\biggr)^{-a-b-1+j}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,(2i\unicode[STIX]{x1D70B}r)^{j}e^{2i\unicode[STIX]{x1D70B}r((m\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}-u_{2})/N)}.\nonumber\end{eqnarray}$$

On obtient

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle E_{(u_{1},u_{2})}^{a,b}(\unicode[STIX]{x1D70F})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \hspace{2.5pt}=\unicode[STIX]{x1D6FF}_{u_{1}=0}N^{-a-b-2}\biggl(\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{u_{2}}{N},a+b+2\biggr)+(-1)^{a+b}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{u_{2}}{N},a+b+2\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad +\,(-1)^{b}\frac{2i\unicode[STIX]{x1D70B}}{N^{a+b+2}}\left(\begin{array}{@{}c@{}}a+b\\ a\end{array}\right)\biggl(\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{u_{1}}{N},a+b+1\biggr)+(-1)^{a+b}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{u_{1}}{N},a+b+1\biggr)\biggr)(\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}})^{-a-b-1}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \hspace{2.5pt}\quad +\,\frac{(-1)^{b+1}}{b!}\mathop{\sum }_{j=0}^{a}\frac{(a+b-j)!}{j!(a-j)!}\biggl(-\frac{2i\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{j+1}(\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}})^{-a-b-1+j}\mathop{\sum }_{\substack{ m\geqslant 1 \\ m\equiv u_{1}(N)}}\mathop{\sum }_{r\geqslant 1}m^{-a-b-1+j}r^{j}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{ru_{2}}q^{mr/N}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \hspace{2.5pt}\quad +\,\frac{(-1)^{a+1}}{b!}\mathop{\sum }_{j=0}^{a}\frac{(a+b-j)!}{j!(a-j)!}\biggl(-\frac{2i\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{j+1}(\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}})^{-a-b-1+j}\!\!\mathop{\sum }_{\substack{ m\geqslant 1 \\ m\equiv -u_{1}(N)}}\!\!\mathop{\sum }_{r\geqslant 1}m^{-a-b-1+j}r^{j}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-ru_{2}}q^{mr/N}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \hspace{2.5pt}\quad +\,\frac{(-1)^{b+1}}{a!}\mathop{\sum }_{j=0}^{b}\frac{(a+b-j)!}{j!(b-j)!}\biggl(-\frac{2i\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{j+1}(\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}})^{-a-b-1+j}\mathop{\sum }_{\substack{ m\geqslant 1 \\ m\equiv u_{1}(N)}}\mathop{\sum }_{r\geqslant 1}m^{-a-b-1+j}r^{j}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-ru_{2}}\overline{q}^{mr/N}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \hspace{2.5pt}\quad +\,\frac{(-1)^{a+1}}{a!}\mathop{\sum }_{j=0}^{b}\frac{(a+b-j)!}{j!(b-j)!}\biggl(-\frac{2i\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{j+1}(\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}})^{-a-b-1+j}\mathop{\sum }_{\substack{ m\geqslant 1 \\ m\equiv -u_{1}(N)}}\mathop{\sum }_{r\geqslant 1}m^{-a-b-1+j}r^{j}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{ru_{2}}\overline{q}^{mr/N}\nonumber\end{eqnarray}$$

d’où le résultat. ◻

Proposition 8.4. Pour $a,b\geqslant 0$ et $u_{1},u_{2}\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}$ , on a

(22) $$\begin{eqnarray}\displaystyle F_{(u_{1},u_{2})}^{a,b}(\unicode[STIX]{x1D70F}) & = & \displaystyle \hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{u_{2}}{N},a+b+2\biggr)+(-1)^{a+b}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{u_{2}}{N},a+b+2\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,(-1)^{b}2i\unicode[STIX]{x1D70B}\left(\begin{array}{@{}c@{}}a+b\\ a\end{array}\right)\unicode[STIX]{x1D6FF}_{0}(u_{2})(\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}})^{-a-b-1} (\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{u_{1}}{N},a+b+1\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,(-1)^{a+b}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{u_{1}}{N},a+b+1\biggr)\!)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,\frac{(-1)^{b+1}}{b!}\mathop{\sum }_{j=0}^{a}\frac{(a+b-j)!}{j!(a-j)!}\biggl(-\frac{2i\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{j+1}(\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}})^{-a-b-1+j}N(S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-u_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-u_{2}}}^{j-a-b-1,j}(\unicode[STIX]{x1D70F})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,(-1)^{a+b}S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{u_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{u_{2}}}^{j-a-b-1,j}(\unicode[STIX]{x1D70F}))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,\frac{(-1)^{b+1}}{a!}\mathop{\sum }_{j=0}^{b}\frac{(a+b-j)!}{j!(b-j)!}\biggl(-\frac{2i\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{j+1}(\unicode[STIX]{x1D70F}-\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}})^{-a-b-1+j}N(\overline{S}_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{u_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{u_{2}}}^{j-a-b-1,j}(\unicode[STIX]{x1D70F})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,(-1)^{a+b}\overline{S}_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-u_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-u_{2}}}^{j-a-b-1,j}(\unicode[STIX]{x1D70F})).\end{eqnarray}$$

Démonstration.

On utilise la proposition 8.2 et l’identité (19). ◻

On déduit le développement de Fourier de $\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{n}(u)$ de la formule (20) et de la proposition 8.4.

9 Calcul du régulateur

Le calcul de l’intégrale de $\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2})$ le long du cycle de Shokurov $X^{k}\{0,\infty \}$ procède en trois étapes. Dans un premier temps, nous intégrons $\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2})$ sur les fibres $\unicode[STIX]{x1D6FE}_{y,k}$ du cycle de Shokurov. Dans un deuxième temps, nous intégrons le résultat obtenu le long du symbole modulaire $\{0,\infty \}$ , à l’aide de la méthode de Rogers–Zudilin. L’expression obtenue (33) comporte six termes : un terme principal (noté $A$ ) et cinq termes supplémentaires (notés $B$ à $F$ ) provenant des termes constants des séries d’Eisenstein. Dans un troisième temps, nous montrons que tous les termes supplémentaires se simplifient.

Soit $p:E^{k}(\mathbf{C})\rightarrow Y(N)(\mathbf{C})$ la projection canonique. On a une application naturelle $\unicode[STIX]{x1D708}:{\mathcal{H}}\rightarrow Y(N)(\mathbf{C})$ donnée par $\unicode[STIX]{x1D708}(\unicode[STIX]{x1D70F})=[(\unicode[STIX]{x1D70F},\unicode[STIX]{x1D70E})]$ , qui nous permet de voir le chemin $\{0,\infty \}$ comme une sous-variété de $Y(N)(\mathbf{C})$ . Considérons la sous-variété $W=p^{-1}(\{0,\infty \})$ de $E^{k}(\mathbf{C})$ . On a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle W=\mathop{\bigcup }_{y>0}p^{-1}(\unicode[STIX]{x1D708}(iy))=\mathop{\bigcup }_{y>0}\{iy\}\times \biggl(\frac{\mathbf{C}}{\mathbf{Z}+iy\mathbf{Z}}\biggr)^{k}\times \{\unicode[STIX]{x1D70E}\}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Soient $u_{1}=(a_{1},b_{1})$ , $u_{2}=(a_{2},b_{2})\in (\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})^{2}$ . Nous allons calculer la restriction de $\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2})$ à $W$ . D’après la proposition 5.4, on a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1}}(u_{1})=-\frac{k_{1}!(k_{1}+2)}{2\unicode[STIX]{x1D70B}N}\Im (\unicode[STIX]{x1D70F})\mathop{\sum }_{a=0}^{k_{1}}F_{gu_{1}}^{a,k_{1}-a}(\unicode[STIX]{x1D70F})\unicode[STIX]{x1D713}_{a,k_{1}-a}\hspace{0.6em}{\rm mod}\hspace{0.2em}d\unicode[STIX]{x1D70F},d\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Comme $\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1}}(u_{1})$ est invariante par $\unicode[STIX]{x1D70E}:(\unicode[STIX]{x1D70F},z,g)\mapsto (-1/\unicode[STIX]{x1D70F},z/\unicode[STIX]{x1D70F},\unicode[STIX]{x1D70E}g)$ , il vient

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1}}(u_{1}) & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D70E}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1}}(u_{1})\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle -\frac{k_{1}!(k_{1}+2)}{2\unicode[STIX]{x1D70B}N}\Im \biggl(-\frac{1}{\unicode[STIX]{x1D70F}}\biggr)\mathop{\sum }_{a=0}^{k_{1}}F_{\unicode[STIX]{x1D70E}gu_{1}}^{a,k_{1}-a}\biggl(-\frac{1}{\unicode[STIX]{x1D70F}}\biggr)\unicode[STIX]{x1D70F}^{-a}\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}^{-k_{1}+a}\unicode[STIX]{x1D713}_{a,k_{1}-a}\hspace{0.6em}{\rm mod}\hspace{0.2em}d\unicode[STIX]{x1D70F},d\overline{\unicode[STIX]{x1D70F}}.\nonumber\end{eqnarray}$$

En restreignant à $W$ , il vient

(23) $$\begin{eqnarray}\displaystyle p_{1}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1}}(u_{1})|_{W} & = & \displaystyle -\frac{k_{1}!(k_{1}+2)}{2\unicode[STIX]{x1D70B}N}y^{-1}\mathop{\sum }_{a=0}^{k_{1}}F_{-u_{1}}^{a,k_{1}-a}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)(iy)^{-a}(-iy)^{-k_{1}+a}p_{1}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{a,k_{1}-a}\hspace{0.6em}{\rm mod}\hspace{0.2em}dy\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle -\frac{k_{1}!(k_{1}+2)}{2\unicode[STIX]{x1D70B}N}y^{-1}(iy)^{-k_{1}}\mathop{\sum }_{a=0}^{k_{1}}F_{-u_{1}}^{a,k_{1}-a}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)(-1)^{-k_{1}+a}p_{1}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{a,k_{1}-a}\hspace{0.6em}{\rm mod}\hspace{0.2em}dy.\end{eqnarray}$$

En utilisant la proposition 8.4, il vient

$$\begin{eqnarray}\displaystyle F_{-u_{1}}^{a,k_{1}-a}\biggl(\frac{i}{y}\biggr) & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6FC}_{1}+(-1)^{k_{1}-a}\left(\begin{array}{@{}c@{}}k_{1}\\ a\end{array}\right)\unicode[STIX]{x1D6FD}_{1}y^{k_{1}+1}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,\frac{(-1)^{k_{1}+1-a}}{(k_{1}-a)!}N\mathop{\sum }_{\ell =0}^{a}\frac{(k_{1}-\ell )!}{\ell !(a-\ell )!}\biggl(-\frac{2i\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{\ell +1}\biggl(\frac{2i}{y}\biggr)^{-k_{1}-1+\ell } (S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}}}^{\ell -k_{1}-1,\ell }\biggl(\frac{i}{y}\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,(-1)^{k_{1}}S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{1}}}^{\ell -k_{1}-1,\ell }\biggl(\frac{i}{y}\biggr)\!)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,\frac{(-1)^{k_{1}+1-a}}{a!}N\mathop{\sum }_{\ell =0}^{k_{1}-a}\frac{(k_{1}-\ell )!}{\ell !(k_{1}-a-\ell )!}\biggl(-\frac{2i\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{\ell +1}\biggl(\frac{2i}{y}\biggr)^{-k_{1}-1+\ell } (\overline{S}_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{1}}}^{\ell -k_{1}-1,\ell }\biggl(\frac{i}{y}\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,(-1)^{k_{1}}\overline{S}_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}}}^{\ell -k_{1}-1,\ell }\biggl(\frac{i}{y}\biggr)\!)\nonumber\end{eqnarray}$$

avec

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6FC}_{1}=\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},k_{1}+2\biggr)+(-1)^{k_{1}}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{1}}{N},k_{1}+2\biggr), & \displaystyle \nonumber\\ \displaystyle & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6FD}_{1}=2i\unicode[STIX]{x1D70B}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}=0}(2i)^{-k_{1}-1}\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{1}}{N},k_{1}+1\biggr)+(-1)^{k_{1}}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{1}}{N},k_{1}+1\biggr)\biggr). & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

En reportant dans (23), il vient

(24) $$\begin{eqnarray}\displaystyle p_{1}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1}}(u_{1})|_{W}=\unicode[STIX]{x1D702}_{0}+\unicode[STIX]{x1D702}_{1} & & \displaystyle\end{eqnarray}$$

avec

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D702}_{0} & = & \displaystyle -\frac{k_{1}!(k_{1}+2)}{2\unicode[STIX]{x1D70B}N}i^{-k_{1}}\mathop{\sum }_{a=0}^{k_{1}}\left((-1)^{k_{1}-a}\unicode[STIX]{x1D6FC}_{1}y^{-k_{1}-1}+\left(\begin{array}{@{}c@{}}k_{1}\\ a\end{array}\right)\unicode[STIX]{x1D6FD}_{1}\right)p_{1}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{a,k_{1}-a},\nonumber\end{eqnarray}$$

(25) $$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D702}_{1} & = & \displaystyle (-1)^{k_{1}+1}\frac{k_{1}!(k_{1}+2)}{2^{k_{1}+3}\unicode[STIX]{x1D70B}}\mathop{\sum }_{\ell =0}^{k_{1}}\biggl(S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}}}^{\ell -k_{1}-1,\ell }\biggl(\frac{i}{y}\biggr)+(-1)^{k_{1}}S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{1}}}^{\ell -k_{1}-1,\ell }\biggl(\frac{i}{y}\biggr)\biggr)\unicode[STIX]{x1D6FA}_{\ell }\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,(-1)^{k_{1}+1}\frac{k_{1}!(k_{1}+2)}{2^{k_{1}+3}\unicode[STIX]{x1D70B}}\mathop{\sum }_{\ell =0}^{k_{1}}\biggl(\overline{S}_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{1}}}^{\ell -k_{1}-1,\ell }\biggl(\frac{i}{y}\biggr)+(-1)^{k_{1}}\overline{S}_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}}}^{\ell -k_{1}-1,\ell }\biggl(\frac{i}{y}\biggr)\biggr)\overline{\unicode[STIX]{x1D6FA}_{\ell }}\hspace{0.6em}{\rm mod}\hspace{0.2em}dy\end{eqnarray}$$

où l’on a posé, pour tout $0\leqslant \ell \leqslant k_{1}$ ,

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D6FA}_{\ell }=\frac{(k_{1}-\ell )!}{\ell !}\biggl(\frac{4\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{\ell +1}y^{-\ell }\mathop{\sum }_{a=\ell }^{k_{1}}\frac{p_{1}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{a,k_{1}-a}}{(k_{1}-a)!(a-\ell )!}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

D’autre part, en utilisant la proposition 8.1, on a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{2}}(u_{2}) & = & \displaystyle (-1)^{k_{2}+1}\frac{k_{2}+2}{N}(2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}}F_{\unicode[STIX]{x1D70E}gu_{2}}^{(k_{2}+2)}(\unicode[STIX]{x1D70F})\,\frac{dq}{q}\wedge p_{2}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{k_{2},0}\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle (-1)^{k_{2}+1}\frac{k_{2}+2}{N}(2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}+1}F_{\unicode[STIX]{x1D70E}gu_{2}}^{(k_{2}+2)}(\unicode[STIX]{x1D70F})\,d\unicode[STIX]{x1D70F}\wedge p_{2}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{k_{2},0}\nonumber\end{eqnarray}$$

d’où

$$\begin{eqnarray}\displaystyle p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{2}}(u_{2})|_{W}=i\frac{k_{2}+2}{N}(-2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}+1}F_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)\,dy\wedge p_{2}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{k_{2},0} & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

puis

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{2}+1}(p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{2}}(u_{2}))|_{W}=i\frac{k_{2}+2}{2N}(-2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}+1}\,dy\wedge (F_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)p_{2}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{k_{2},0}-\overline{F}_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)p_{2}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{0,k_{2}}). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Lemme 9.1. Soit $0\leqslant a\leqslant k_{1}$ un entier. On a

(26) $$\begin{eqnarray}\displaystyle & \displaystyle \int _{\unicode[STIX]{x1D6FE}_{y,k}}p_{1}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{a,k_{1}-a}\wedge p_{2}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{k_{2},0}=(-1)^{k_{1}-a}(iy)^{k}, & \displaystyle\end{eqnarray}$$

(27) $$\begin{eqnarray}\displaystyle & \displaystyle \int _{\unicode[STIX]{x1D6FE}_{y,k}}p_{1}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{a,k_{1}-a}\wedge p_{2}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{0,k_{2}}=(-1)^{k-a}(iy)^{k}. & \displaystyle\end{eqnarray}$$

Démonstration.

Cela résulte d’un calcul direct. ◻

Lemme 9.2. Pour tout entier $0\leqslant \ell \leqslant k_{1}$ , on a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & \displaystyle \int _{\unicode[STIX]{x1D6FE}_{y,k}}\unicode[STIX]{x1D6FA}_{\ell }\wedge p_{2}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{k_{2},0}=\left\{\begin{array}{@{}ll@{}}\displaystyle 0\quad & \text{si }\ell <k_{1},\\ \displaystyle \frac{i^{k}}{k_{1}!}\biggl(\frac{4\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{k_{1}+1}y^{k_{2}}\quad & \text{si }\ell =k_{1},\end{array}\right. & \displaystyle \nonumber\\ \displaystyle & \displaystyle \int _{\unicode[STIX]{x1D6FE}_{y,k}}\unicode[STIX]{x1D6FA}_{\ell }\wedge p_{2}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{0,k_{2}}=\left\{\begin{array}{@{}ll@{}}\displaystyle 0\quad & \text{si }\ell <k_{1},\\ \displaystyle (-1)^{k_{2}}\frac{i^{k}}{k_{1}!}\biggl(\frac{4\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{k_{1}+1}y^{k_{2}}\quad & \text{si }\ell =k_{1},\end{array}\right. & \displaystyle \nonumber\\ \displaystyle & \displaystyle \int _{\unicode[STIX]{x1D6FE}_{y,k}}\overline{\unicode[STIX]{x1D6FA}_{\ell }}\wedge p_{2}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{k_{2},0}=\left\{\begin{array}{@{}ll@{}}0\quad & \text{si }\ell <k_{1},\\ \displaystyle (-1)^{k_{1}}\frac{i^{k}}{k_{1}!}\biggl(\frac{4\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{k_{1}+1}y^{k_{2}}\quad & \text{si }\ell =k_{1},\end{array}\right. & \displaystyle \nonumber\\ \displaystyle & \displaystyle \int _{\unicode[STIX]{x1D6FE}_{y,k}}\overline{\unicode[STIX]{x1D6FA}_{\ell }}\wedge p_{2}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{0,k_{2}}=\left\{\begin{array}{@{}ll@{}}\displaystyle 0\quad & \text{si }\ell <k_{1},\\ \displaystyle (-1)^{k}\frac{i^{k}}{k_{1}!}\biggl(\frac{4\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{k_{1}+1}y^{k_{2}}\quad & \text{si }\ell =k_{1}.\end{array}\right. & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Démonstration.

On applique le lemme 9.1 avec $m=k=k_{1}+k_{2}$ , ce qui donne

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \int _{\unicode[STIX]{x1D6FE}_{y,k}}\unicode[STIX]{x1D6FA}_{\ell }\wedge p_{2}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{k_{2},0} & = & \displaystyle \frac{(k_{1}-\ell )!}{\ell !}\biggl(\frac{4\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{\ell +1}y^{-\ell }\mathop{\sum }_{a=\ell }^{k_{1}}\frac{1}{(k_{1}-a)!(a-\ell )!}\int _{\unicode[STIX]{x1D6FE}_{y,k}}p_{1}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{a,k_{1}-a}\wedge p_{2}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{k_{2},0}\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \frac{(k_{1}-\ell )!}{\ell !}\biggl(\frac{4\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{\ell +1}y^{-\ell }\mathop{\sum }_{a=\ell }^{k_{1}}\frac{(-1)^{k_{1}-a}(iy)^{k}}{(k_{1}-a)!(a-\ell )!}\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \frac{(k_{1}-\ell )!}{\ell !}\biggl(\frac{4\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{\ell +1}y^{-\ell }(iy)^{k}\mathop{\sum }_{a=0}^{k_{1}-\ell }\frac{(-1)^{k_{1}-\ell -a}}{(k_{1}-\ell -a)!a!}\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \left\{\begin{array}{@{}ll@{}}\displaystyle 0\quad & \text{si }\ell <k_{1},\\ \displaystyle \frac{i^{k}}{k_{1}!}\biggl(\frac{4\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{k_{1}+1}y^{k_{2}}\quad & \text{si }\ell =k_{1}.\end{array}\right.\nonumber\end{eqnarray}$$

Les autres cas se traitent de manière similaire. ◻

On intègre $\unicode[STIX]{x1D702}_{0}\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{2}+1}(p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{2}}(u_{2}))$ sur les fibres de $X^{k}\{0,\infty \}\rightarrow \{0,\infty \}$ grâce au lemme 9.1, ce qui donne

(28) $$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \int _{\unicode[STIX]{x1D6FE}_{y,k}}\unicode[STIX]{x1D702}_{0}\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{2}+1}(p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{2}}(u_{2}))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =-(-1)^{k_{1}}\frac{k_{1}!(k_{1}+2)}{2\unicode[STIX]{x1D70B}N}i^{-k_{1}}\cdot i\frac{k_{2}+2}{2N}(-2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}+1}\,dy\mathop{\sum }_{a=0}^{k_{1}}\left((-1)^{k_{1}-a}\unicode[STIX]{x1D6FC}_{1}y^{-k_{1}-1}+\left(\begin{array}{@{}c@{}}k_{1}\\ a\end{array}\right)\unicode[STIX]{x1D6FD}_{1}\right)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \cdot \,\int _{\unicode[STIX]{x1D6FE}_{y,k}}p_{1}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{a,k_{1}-a}\wedge (F_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)p_{2}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{k_{2},0}-\overline{F}_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)p_{2}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D713}_{0,k_{2}})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =-(-1)^{k_{1}}\frac{k_{1}!(k_{1}+2)}{2\unicode[STIX]{x1D70B}N}i^{-k_{1}}\cdot i\frac{k_{2}+2}{2N}(-2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}+1}\,dy\mathop{\sum }_{a=0}^{k_{1}}\left((-1)^{k_{1}-a}\unicode[STIX]{x1D6FC}_{1}y^{-k_{1}-1}+\left(\begin{array}{@{}c@{}}k_{1}\\ a\end{array}\right)\unicode[STIX]{x1D6FD}_{1}\right)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \cdot \,(F_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)(-1)^{k_{1}-a}(iy)^{k}-\overline{F}_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)(-1)^{k-a}(iy)^{k})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =-(-1)^{k_{1}}\frac{k_{1}!(k_{1}+2)}{2\unicode[STIX]{x1D70B}N}i^{-k_{1}}\cdot i\frac{k_{2}+2}{2N}(-2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}+1}\mathop{\sum }_{a=0}^{k_{1}}\left((-1)^{k_{1}-a}\unicode[STIX]{x1D6FC}_{1}y^{-k_{1}-1}+\left(\begin{array}{@{}c@{}}k_{1}\\ a\end{array}\right)\unicode[STIX]{x1D6FD}_{1}\right)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \cdot \,(-1)^{k_{1}-a}(iy)^{k}(F_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)+(-1)^{k_{2}+1}\overline{F}_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy))\,dy\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =-(-1)^{k_{1}}\frac{k_{1}!(k_{1}+2)}{2\unicode[STIX]{x1D70B}N}i^{k_{2}+1}\frac{k_{2}+2}{2N}(-2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}+1}\mathop{\sum }_{a=0}^{k_{1}}\left(\unicode[STIX]{x1D6FC}_{1}y^{k_{2}-1}+(-1)^{k_{1}-a}\left(\begin{array}{@{}c@{}}k_{1}\\ a\end{array}\right)\unicode[STIX]{x1D6FD}_{1}y^{k}\right)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \cdot \,(F_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)+(-1)^{k_{2}+1}\overline{F}_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy))\,dy\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =-(-1)^{k_{1}}\frac{k_{1}!(k_{1}+2)(k_{2}+2)}{2N^{2}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}}((k_{1}+1)\unicode[STIX]{x1D6FC}_{1}y^{k_{2}-1}+\unicode[STIX]{x1D6FF}_{k_{1}=0}\unicode[STIX]{x1D6FD}_{1}y^{k})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \cdot \,(F_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)+(-1)^{k_{2}+1}\overline{F}_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy))\,dy.\end{eqnarray}$$

On intègre $\unicode[STIX]{x1D702}_{1}\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{2}+1}(p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{2}}(u_{2}))$ sur les fibres de $X^{k}\{0,\infty \}\rightarrow \{0,\infty \}$ grâce au lemme 9.2, ce qui donne

(29) $$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \int _{\unicode[STIX]{x1D6FE}_{y,k}}\unicode[STIX]{x1D702}_{1}\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{2}+1}(p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{2}}(u_{2}))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =-i^{k_{1}}\frac{(k_{1}+2)(k_{2}+2)}{4N^{k_{1}+2}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{1}+k_{2}+1}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \cdot \,\biggl(S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}}}^{-1,k_{1}}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)+(-1)^{k_{1}}S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{1}}}^{-1,k_{1}}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)+(-1)^{k_{1}}\overline{S}_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{1}}}^{-1,k_{1}}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)+\overline{S}_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}}}^{-1,k_{1}}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \cdot \,(F_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)+(-1)^{k_{2}+1}\overline{F}_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy))y^{k_{2}}\,dy.\end{eqnarray}$$

Puisque $\overline{S}_{\unicode[STIX]{x1D6FC},\unicode[STIX]{x1D6FD}}^{k,\ell }(i/y)=S_{\overline{\unicode[STIX]{x1D6FC}},\overline{\unicode[STIX]{x1D6FD}}}^{k,\ell }(i/y)$ et comme $\overline{\unicode[STIX]{x1D6FF}_{a}}=\unicode[STIX]{x1D6FF}_{a}$ et $\overline{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a}}=\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a}$ , il vient

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}}}^{-1,k_{1}}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)+(-1)^{k_{1}}S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{1}}}^{-1,k_{1}}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)+(-1)^{k_{1}}\overline{S}_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{1}}}^{-1,k_{1}}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)+\overline{S}_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}}}^{-1,k_{1}}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}}}^{-1,k_{1}}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)+(-1)^{k_{1}}S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{1}}}^{-1,k_{1}}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)+(-1)^{k_{1}}S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{1}}}^{-1,k_{1}}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)+S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}}}^{-1,k_{1}}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{1}}+\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}}+(-1)^{k_{1}}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{1}}}^{-1,k_{1}}\biggl(\frac{i}{y}\biggr).\nonumber\end{eqnarray}$$

En mettant ensemble (28) et (29), il vient

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \int _{\unicode[STIX]{x1D6FE}_{y,k}}p_{1}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1}}(u_{1})\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{2}+1}(p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{2}}(u_{2}))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =(-1)^{k_{1}+1}\frac{k_{1}!(k_{1}+2)(k_{2}+2)}{2N^{2}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}} (\,(k_{1}+1)\unicode[STIX]{x1D6FC}_{1}y^{k_{2}-1}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad +\,\unicode[STIX]{x1D6FF}_{k_{1}=0}\unicode[STIX]{x1D6FD}_{1}y^{k_{2}} )(F_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)+(-1)^{k_{2}+1}\overline{F}_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy))\,dy\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad -\,i^{k_{1}}\frac{(k_{1}+2)(k_{2}+2)}{4N^{k_{1}+2}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{1}+k_{2}+1}S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{1}}+\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}}+(-1)^{k_{1}}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{1}}}^{-1,k_{1}}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)(F_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad +\,(-1)^{k_{2}+1}\overline{F}_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy))y^{k_{2}}\,dy.\nonumber\end{eqnarray}$$

D’autre part, d’après le lemme 3.3, le terme constant de la série d’Eisenstein $F_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}$ est réel, et on a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle F_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)+(-1)^{k_{2}+1}\overline{F}_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},-k_{2}-1\biggr)+(-1)^{k_{2}+1}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},-k_{2}-1\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad +\,N^{-k_{2}-1}\biggl(\mathop{\sum }_{\substack{ m,n\geqslant 1 \\ n\equiv -a_{2}(N)}}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-b_{2}m}n^{k_{2}+1}e^{-(2\unicode[STIX]{x1D70B}mny)/N}+(-1)^{k_{2}}\mathop{\sum }_{\substack{ m,n\geqslant 1 \\ n\equiv a_{2}(N)}}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{b_{2}m}n^{k_{2}+1}e^{-(2\unicode[STIX]{x1D70B}mny)/N}\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad +\,(-1)^{k_{2}+1}N^{-k_{2}-1} (\mathop{\sum }_{\substack{ m,n\geqslant 1 \\ n\equiv -a_{2}(N)}}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{b_{2}m}n^{k_{2}+1}e^{-(2\unicode[STIX]{x1D70B}mny)/N}+(-1)^{k_{2}}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \cdot \,\mathop{\sum }_{\substack{ m,n\geqslant 1 \\ n\equiv a_{2}(N)}}\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-b_{2}m}n^{k_{2}+1}e^{-(2\unicode[STIX]{x1D70B}mny)/N}\! )\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =(1+(-1)^{k_{2}+1})\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},-k_{2}-1\biggr)+N^{-k_{2}-1}S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{b_{2}}+(-1)^{k_{2}+1}\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-b_{2}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-a_{2}}-\unicode[STIX]{x1D6FF}_{a_{2}}}^{0,k_{2}+1}(iy).\nonumber\end{eqnarray}$$

Lemme 9.3. Pour $s\in \mathbf{C}$ , $\Re (s)<0$ , la fonction $y\mapsto (F_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)+(-1)^{k_{2}+1}\overline{F}_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy))y^{s-1}$ est intégrable sur $]\!0,+\infty \![$ , et on a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \int _{0}^{\infty }(F_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)+(-1)^{k_{2}+1}\overline{F}_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy))y^{s}\,\frac{dy}{y}=i^{k_{2}+2}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{s-k_{2}-2}\unicode[STIX]{x1D6E4}(-s+k_{2}+2)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad \cdot \,\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{2}}{N},-s+k_{2}+2\biggr)-\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},-s+k_{2}+2\biggr)\biggr)(\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},-s+1\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad +\,(-1)^{k_{2}+1}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{b_{2}}{N},-s+1\biggr)\!).\nonumber\end{eqnarray}$$

Démonstration.

L’hypothèse $\Re (s)<0$ entraîne que l’intégrale converge lorsque $y\rightarrow +\infty$ . On a $\overline{F}_{-a_{2},-b_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)=F_{-a_{2},b_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)$ . Pour montrer l’intégrabilité lorsque $y\rightarrow 0$ , on effectue le changement de variables $y\mapsto 1/y$ et on utilise le lemme 3.4 avec $g=\unicode[STIX]{x1D70E}$ , ce qui donne

$$\begin{eqnarray}\displaystyle F_{-a_{2},-b_{2}}^{(k_{2}+2)}(i/y)=(iy)^{k_{2}+2}F_{-b_{2},a_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Il en résulte

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle (F_{-a_{2},-b_{2}}^{(k_{2}+2)}(i/y)+(-1)^{k_{2}+1}F_{-a_{2},b_{2}}^{(k_{2}+2)}(i/y))y^{-s-1}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =(iy)^{k_{2}+2}(F_{-b_{2},a_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)+(-1)^{k_{2}+1}F_{b_{2},a_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy))y^{-s-1}.\nonumber\end{eqnarray}$$

Le terme constant de la série d’Eisenstein $F_{-b_{2},a_{2}}^{(k_{2}+2)}+(-1)^{k_{2}+1}F_{b_{2},a_{2}}^{(k_{2}+2)}$ est nul, ce qui montre la convergence de l’intégrale de départ pour $\Re (s)<0$ . Par changement de variables dans cette même intégrale, on obtient

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \int _{0}^{\infty }(F_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)+(-1)^{k_{2}+1}\overline{F}_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy))y^{s}\,\frac{dy}{y}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =i^{k_{2}+2}\int _{0}^{\infty }(F_{-b_{2},a_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)+(-1)^{k_{2}+1}F_{b_{2},a_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy))y^{-s+k_{2}+2}\,\frac{dy}{y}.\nonumber\end{eqnarray}$$

D’après le lemme 3.3, on a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle F_{-b_{2},a_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)+(-1)^{k_{2}+1}F_{b_{2},a_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =N^{-k_{2}-1}(S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{2}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{2}}}^{0,k_{2}+1}(iy)+(-1)^{k_{2}}S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{2}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{2}}}^{0,k_{2}+1}(iy)+(-1)^{k_{2}+1}S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{2}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{2}}}^{0,k_{2}+1}(iy)-S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{2}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{2}}}^{0,k_{2}+1}(iy))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =N^{-k_{2}-1}S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{2}}-\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{2}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{2}}+(-1)^{k_{2}+1}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{2}}}^{0,k_{2}+1}(iy).\nonumber\end{eqnarray}$$

Grâce au lemme 7.1, on en déduit

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle i^{k_{2}+2}\int _{0}^{\infty }(F_{-b_{2},a_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)+(-1)^{k_{2}+1}F_{b_{2},a_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy))y^{-s+k_{2}+2}\,\frac{dy}{y}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =\frac{i^{k_{2}+2}}{N^{k_{2}+1}}\int _{0}^{\infty }S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{2}}-\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{2}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{2}}+(-1)^{k_{2}+1}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{2}}}^{0,k_{2}+1}(iy)y^{-s+k_{2}+2}\,\frac{dy}{y}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =\frac{i^{k_{2}+2}}{N^{k_{2}+1}}\biggl(\frac{2\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{s-k_{2}-2}\unicode[STIX]{x1D6E4}(s-k_{2}+2)L(\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{2}}-\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{2}},-s+k_{2}+2)L(\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{2}}+(-1)^{k_{2}+1}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{2}},-s+1)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =i^{k_{2}+2}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{s-k_{2}-2}\unicode[STIX]{x1D6E4}(-s+k_{2}+2)\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{2}}{N},-s+k_{2}+2\biggr)-\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},-s+k_{2}+2\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \cdot \,\biggl(\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},-s+1\biggr)+(-1)^{k_{2}+1}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{b_{2}}{N},-s+1\biggr)\biggr).\Box \nonumber\end{eqnarray}$$

Pour $\Re (s)\ll 0$ , on en déduit

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \int _{X^{k}\{0,\infty \}}y^{s}p_{1}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1}}(u_{1})\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{2}+1}(p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{2}}(u_{2}))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =(-1)^{k_{1}+1}k_{1}!\frac{(k_{1}+2)(k_{2}+2)}{2N^{2}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}}\int _{0}^{\infty }(F_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy)+(-1)^{k_{2}+1}\overline{F}_{-u_{2}}^{(k_{2}+2)}(iy))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \cdot \,((k_{1}+1)\unicode[STIX]{x1D6FC}_{1}y^{k_{2}-1}+\unicode[STIX]{x1D6FF}_{k_{1}=0}\unicode[STIX]{x1D6FD}_{1}y^{k_{2}})y^{s}\,dy\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad -\,i^{k_{1}}\frac{(k_{1}+2)(k_{2}+2)}{4N^{k_{1}+2}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{1}+k_{2}+1}\int _{0}^{\infty }S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{1}}+\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}}+(-1)^{k_{1}}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{1}}}^{-1,k_{1}}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \cdot \,\biggl((1+(-1)^{k_{2}+1})\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},-k_{2}-1\biggr)+N^{-k_{2}-1}S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{b_{2}}+(-1)^{k_{2}+1}\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-b_{2}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-a_{2}}-\unicode[STIX]{x1D6FF}_{a_{2}}}^{0,k_{2}+1}(iy)\biggr)y^{s+k_{2}}\,dy.\nonumber\end{eqnarray}$$

En appliquant les lemmes 7.1, 9.3 et la proposition 7.2, on obtient

(30) $$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \int _{X^{k}\{0,\infty \}}y^{s}p_{1}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1}}(u_{1})\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{2}+1}(p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{2}}(u_{2}))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =(-1)^{k_{1}}\frac{(k_{1}+2)!(k_{2}+2)}{2N^{2}}(2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}}\unicode[STIX]{x1D6FC}_{1}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{s-2}\unicode[STIX]{x1D6E4}(-s+2)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \cdot \,\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{2}}{N},-s+2\biggr)-\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},-s+2\biggr)\biggr)(\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},-s-k_{2}+1\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad +\,(-1)^{k_{2}+1}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{b_{2}}{N},-s-k_{2}+1\biggr)\!)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad +\,\unicode[STIX]{x1D6FF}_{k_{1}=0}\unicode[STIX]{x1D6FD}_{1}\frac{k_{2}+2}{N^{2}}(2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{s-1}\unicode[STIX]{x1D6E4}(-s+1)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \cdot \,\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{2}}{N},-s+1\biggr)-\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},-s+1\biggr)\biggr)\biggl(\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},-s-k_{2}\biggr)+(-1)^{k_{2}+1}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{b_{2}}{N},-s-k_{2}\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad -\,i^{k_{1}}\frac{(k_{1}+2)(k_{2}+2)}{4N^{k_{1}+2}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{1}+k_{2}+1}(1+(-1)^{k_{2}+1})\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},-k_{2}-1\biggr)\biggl(\frac{2\unicode[STIX]{x1D70B}}{N}\biggr)^{s+k_{2}+1}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \cdot \,\unicode[STIX]{x1D6E4}(-s-k_{2}-1)\cdot \biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{1}}{N},-s-k_{2}\biggr)+\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{1}}{N},-s-k_{2}\biggr)\biggr)N^{s+k+1} (\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{b_{1}}{N},-s-k-1\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad +\,(-1)^{k_{1}}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},-s-k-1\biggr)\!)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad -\,i^{k_{1}}\frac{(k_{1}+2)(k_{2}+2)}{4N^{k_{1}+2}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{1}+k_{2}+1}N^{-k_{2}-1}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \cdot \,\int _{0}^{\infty }S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{1}}+\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{1}},\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{b_{2}}+(-1)^{k_{2}+1}\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-b_{2}}}^{s+k_{2},0}(iy)S_{\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}}+(-1)^{k_{1}}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-a_{2}}-\unicode[STIX]{x1D6FF}_{a_{2}}}^{k_{1},-s}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)y^{s+k_{2}}\,dy.\end{eqnarray}$$

L’expression précédente est une fonction méromorphe de $s$ , et tous les termes qui la composent sont holomorphes au voisinage de $s=0$ , excepté les termes suivants :

1. (i) L’expression $\unicode[STIX]{x1D701}(\pm b_{2}/N,-s-k_{2}+1)$ a un pôle simple lorsque $k_{2}=0$ . Mais dans ce cas

   $$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},-s-k_{2}+1\biggr)+(-1)^{k_{2}+1}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{b_{2}}{N},-s-k_{2}+1\biggr)=\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},-s+1\biggr)-\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{b_{2}}{N},-s+1\biggr) & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$
   est holomorphe en $s=0$ ; sa valeur est $\unicode[STIX]{x1D701}^{\ast }(-b_{2}/N,1)-\unicode[STIX]{x1D701}^{\ast }(b_{2}/N,1)$ .

2. (ii) Le facteur $\unicode[STIX]{x1D6E4}(-s-k_{2}-1)$ a un pôle simple. Mais ce terme n’intervient que si $k_{2}$ est impair, et dans ce cas on a

   $$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{b_{1}}{N},-k-1\biggr)+(-1)^{k_{1}}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},-k-1\biggr)=-\frac{B_{k+2}(\{b_{1}/N\})}{k+2}+(-1)^{k}\frac{B_{k+2}(\{-b_{1}/N\})}{k+2}=0. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

L’expression précédente est donc holomorphe en $s=0$ . Nous allons calculer l’intégrale (30) pour $s=0$ , soit

$$\begin{eqnarray}\displaystyle I:=\int _{0}^{\infty }S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{1}}+\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{1}},\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{b_{2}}+(-1)^{k_{2}+1}\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-b_{2}}}^{k_{2},0}(iy)S_{\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}}+(-1)^{k_{1}}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-a_{2}}-\unicode[STIX]{x1D6FF}_{a_{2}}}^{k_{1},0}\biggl(\frac{i}{y}\biggr)y^{k_{2}}\,dy. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Pour cela, nous aurons besoin du lemme suivant [Bru16, Lemmas 8 and 9].

Lemme 9.4. Soit $f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{n}\in M_{k}(\unicode[STIX]{x1D6E4}_{1}(M))$ et $g=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}q^{n}\in M_{\ell }(\unicode[STIX]{x1D6E4}_{1}(M))$ avec $k,\ell \geqslant 1$ . Soit $h=W_{M}(g)$ . Alors on a

(31) $$\begin{eqnarray}\displaystyle M^{s/2}\int _{0}^{\infty }f^{\ast }(iy)g^{\ast }\biggl(\frac{i}{My}\biggr)y^{s}\,\frac{dy}{y}=\unicode[STIX]{x1D6EC}(fh,s+\ell )-a_{0}\unicode[STIX]{x1D6EC}(h,s+\ell )-b_{0}\unicode[STIX]{x1D6EC}(f,s). & & \displaystyle\end{eqnarray}$$

En particulier, on a

(32) $$\begin{eqnarray}\displaystyle M^{k/2}\int _{0}^{\infty }f^{\ast }(iy)g^{\ast }\biggl(\frac{i}{My}\biggr)y^{k}\,\frac{dy}{y}=\unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }(fh,k+\ell )-a_{0}\unicode[STIX]{x1D6EC}(h,k+\ell )-b_{0}\unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }(f,k). & & \displaystyle\end{eqnarray}$$

En faisant le changement de variables $y\rightarrow Ny$ dans $I$ , on a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle I=N^{k_{2}+1}\int _{0}^{\infty }S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{1}}+\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{1}},\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{b_{2}}+(-1)^{k_{2}+1}\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-b_{2}}}^{k_{2},0}(iNy)S_{\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}}+(-1)^{k_{1}}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-a_{2}}-\unicode[STIX]{x1D6FF}_{a_{2}}}^{k_{1},0}\biggl(\frac{i}{Ny}\biggr)y^{k_{2}}\,dy. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Par définition, on a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & \displaystyle S_{\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{a_{1}}+\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-a_{1}},\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{b_{2}}+(-1)^{k_{2}+1}\hat{\unicode[STIX]{x1D6FF}}_{-b_{2}}}^{k_{2},0}(iNy)=H_{b_{2},a_{1}}^{(k_{2}+1),\ast }(iy)+H_{b_{2},-a_{1}}^{(k_{2}+1),\ast }(iy), & \displaystyle \nonumber\\ \displaystyle & \displaystyle S_{\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}}+(-1)^{k_{1}}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-b_{1}},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{-a_{2}}-\unicode[STIX]{x1D6FF}_{a_{2}}}^{k_{1},0}\biggl(\frac{i}{Ny}\biggr)=G_{b_{1},-a_{2}}^{(k_{1}+1),\ast }\biggl(\frac{i}{N^{2}y}\biggr)-G_{b_{1},a_{2}}^{(k_{1}+1),\ast }\biggl(\frac{i}{N^{2}y}\biggr). & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

En utilisant le lemme 9.4 avec $M=N^{2}$ , $f=H_{b_{2},a_{1}}^{(k_{2}+1)}+H_{b_{2},-a_{1}}^{(k_{2}+1)}$ et $g=G_{b_{1},-a_{2}}^{(k_{1}+1)}-G_{b_{1},a_{2}}^{(k_{1}+1)}$ , il vient

$$\begin{eqnarray}\displaystyle I=I_{1}+I_{2}+I_{3} & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

avec

$$\begin{eqnarray}\displaystyle I_{1} & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }(f\cdot W_{N^{2}}(g),k+2)\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }(W_{N^{2}}(f)\cdot g,0)\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle i^{-k_{2}-1}N\unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }((G_{b_{2},a_{1}}^{(k_{2}+1)}+G_{b_{2},-a_{1}}^{(k_{2}+1)})(G_{b_{1},-a_{2}}^{(k_{1}+1)}-G_{b_{1},a_{2}}^{(k_{1}+1)}),0),\nonumber\\ \displaystyle I_{2} & = & \displaystyle -a_{0}(f)\unicode[STIX]{x1D6EC}(W_{N^{2}}(g),k+2),\nonumber\\ \displaystyle I_{3} & = & \displaystyle -a_{0}(g)\unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }(f,k_{2}+1).\nonumber\end{eqnarray}$$

Calcul de $I_{2}$ . Grâce aux lemmes 3.10 et 3.14, on a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D6EC}(W_{N^{2}}(g),k+2) & = & \displaystyle \frac{i^{k_{1}+1}}{N}\unicode[STIX]{x1D6EC}(H_{b_{1},-a_{2}}^{(k_{1}+1)}-H_{b_{1},a_{2}}^{(k_{1}+1)},k+2)\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \frac{i^{k_{1}+1}}{N}N^{k+2}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{-k-2}\unicode[STIX]{x1D6E4}(k+2)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},k+2\biggr)\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{2}}{N},k_{2}+2\biggr)+(-1)^{k_{1}+1}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{1}}{N},k+2\biggr)\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},k_{2}+2\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle -\,\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},k+2\biggr)\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},k_{2}+2\biggr)+(-1)^{k_{1}}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{1}}{N},k+2\biggr)\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{2}}{N},k_{2}+2\biggr)\!)\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle i^{k_{1}+1}N^{k+1}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{-k-2}(k+1)!\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},k+2\biggr)+(-1)^{k_{1}}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{1}}{N},k+2\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{2}}{N},k_{2}+2\biggr)-\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},k_{2}+2\biggr)\biggr).\nonumber\end{eqnarray}$$

On obtient donc

$$\begin{eqnarray}\displaystyle I_{2} & = & \displaystyle -i^{k_{1}+1}N^{k+1}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{-k-2}(k+1)!a_{0}(H_{b_{2},a_{1}}^{(k_{2}+1)}+H_{b_{2},-a_{1}}^{(k_{2}+1)})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},k+2\biggr)+(-1)^{k_{1}}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{1}}{N},k+2\biggr)\biggr)\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{2}}{N},k_{2}+2\biggr)-\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},k_{2}+2\biggr)\biggr).\nonumber\end{eqnarray}$$

Calcul de $I_{3}$ . Si $k_{1}\geqslant 1$ et $a_{2}\neq 0$ , alors $a_{0}(g)=0$ . Si $a_{2}=0$ , alors $g=0$ . On peut donc supposer $k_{1}=0$ et $a_{2}\neq 0$ . Si $b_{1}\neq 0$ , alors $a_{0}(g)=0$ . On peut donc supposer $b_{1}=0$ . Alors

$$\begin{eqnarray}\displaystyle a_{0}(g)=\biggl(\frac{1}{2}-\biggl\{\frac{-a_{2}}{N}\biggr\}\biggr)-\biggl(\frac{1}{2}-\biggl\{\frac{a_{2}}{N}\biggr\}\biggr)=\biggl\{\frac{a_{2}}{N}\biggr\}-\biggl\{-\frac{a_{2}}{N}\biggr\}=2\biggl\{\frac{a_{2}}{N}\biggr\}-1. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

De plus

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D6EC}(f,s) & = & \displaystyle N^{s}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{-s}\unicode[STIX]{x1D6E4}(s)(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},s\biggr)\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{1}}{N},s-k_{2}\biggr)+(-1)^{k_{2}+1}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{2}}{N},s\biggr)\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{1}}{N},s-k_{2}\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},s\biggr)\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{1}}{N},s-k_{2}\biggr)+(-1)^{k_{2}+1}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{2}}{N},s\biggr)\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{1}}{N},s-k_{2}\biggr)\!)\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle N^{s}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{-s}\unicode[STIX]{x1D6E4}(s)\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},s\biggr)+(-1)^{k_{2}+1}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{2}}{N},s\biggr)\biggr)\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{1}}{N},s-k_{2}\biggr)+\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{1}}{N},s-k_{2}\biggr)\biggr).\nonumber\end{eqnarray}$$

Comme $a_{1}\neq 0$ , les fonctions $\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}(a_{1}/N,s)$ et $\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}(-a_{1}/N,s)$ sont holomorphes sur $\mathbf{C}$ , d’où

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }(f,k_{2}+1) & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6EC}(f,k_{2}+1)=N^{k_{2}+1}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{-k_{2}-1}k_{2}!\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},k_{2}+1\biggr)+(-1)^{k_{2}+1}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{2}}{N},k_{2}+1\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{1}}{N},1\biggr)+\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{1}}{N},1\biggr)\biggr).\nonumber\end{eqnarray}$$

On a alors

$$\begin{eqnarray}\displaystyle I_{3} & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6FF}_{k_{1}=0}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{a_{2}\neq 0}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}=0}N^{k_{2}+1}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{-k_{2}-1}k_{2}!\biggl(1-2\biggl\{\frac{a_{2}}{N}\biggr\}\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},k_{2}+1\biggr)+(-1)^{k_{2}+1}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{2}}{N},k_{2}+1\biggr)\biggr)\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{1}}{N},1\biggr)+\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{1}}{N},1\biggr)\biggr).\nonumber\end{eqnarray}$$

Alors l’intégrale régularisée de $p_{1}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1}}(u_{1})\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{2}+1}(p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{2}}(u_{2}))$ le long de $X^{k}\{0,\infty \}$ est donnée par

(33) $$\begin{eqnarray}\displaystyle \int _{X^{k}\{0,\infty \}}^{\ast }p_{1}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1}}(u_{1})\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{2}+1}(p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{2}}(u_{2}))=A+B+C+D+E+F & & \displaystyle\end{eqnarray}$$

avec

$$\begin{eqnarray}\displaystyle A & = & \displaystyle A^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2})\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle i^{k_{1}-k_{2}+1}\frac{(k_{1}+2)(k_{2}+2)}{4N^{k_{1}+k_{2}+2}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{1}+k_{2}+1}\unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }((G_{b_{2},a_{1}}^{(k_{2}+1)}+G_{b_{2},-a_{1}}^{(k_{2}+1)})(G_{b_{1},-a_{2}}^{(k_{1}+1)}-G_{b_{1},a_{2}}^{(k_{1}+1)}),0),\nonumber\\ \displaystyle B & = & \displaystyle B^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2})\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle (-1)^{k_{1}}\frac{(k_{1}+2)!(k_{2}+2)}{8\unicode[STIX]{x1D70B}^{2}N^{2}}(2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}}\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},k_{1}+2\biggr)+(-1)^{k_{1}}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{1}}{N},k_{1}+2\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{2}}{N},2\biggr)-\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},2\biggr)\biggr)\biggl(\unicode[STIX]{x1D701}^{(\ast )}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},-k_{2}+1\biggr)+(-1)^{k_{2}+1}\unicode[STIX]{x1D701}^{(\ast )}\biggl(\frac{b_{2}}{N},-k_{2}+1\biggr)\biggr),\nonumber\\ \displaystyle C & = & \displaystyle C^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2})\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6FF}_{k_{1}=0}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}=0}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{a_{2}\neq 0}\frac{k_{2}+2}{2N^{2}}(2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}}\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{1}}{N},1\biggr)+\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{1}}{N},1\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{2}}{N},1\biggr)-\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},1\biggr)\biggr)\biggl(\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},-k_{2}\biggr)+(-1)^{k_{2}+1}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{b_{2}}{N},-k_{2}\biggr)\biggr),\nonumber\\ \displaystyle D & = & \displaystyle D^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2})\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle -\unicode[STIX]{x1D6FF}_{k_{2}\equiv 1(2)}i^{k_{1}}\frac{(k_{1}+2)(k_{2}+2)}{2N^{2}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{1}+2k_{2}+2}\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{1}}{N},-k_{2}\biggr)+\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{1}}{N},-k_{2}\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},-k_{2}-1\biggr)\cdot \lim _{s\rightarrow 0}\biggl(\unicode[STIX]{x1D6E4}(s-k_{2}-1)\biggl(\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{b_{1}}{N},s-k-1\biggr)+(-1)^{k_{1}}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},s-k-1\biggr)\biggr)\biggr),\nonumber\\ \displaystyle E & = & \displaystyle E^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2})\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle -i^{k_{1}}\frac{(k_{1}+2)(k_{2}+2)}{4N^{k_{1}+2}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{1}+k_{2}+1}N^{-k_{2}-1}I_{2}\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle (-1)^{k_{1}}i\frac{(k_{1}+2)(k_{2}+2)(k+1)!}{8\unicode[STIX]{x1D70B}N^{2}}a_{0}(H_{b_{2},a_{1}}^{(k_{2}+1)}+H_{b_{2},-a_{1}}^{(k_{2}+1)})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},k+2\biggr)+(-1)^{k_{1}}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{1}}{N},k+2\biggr)\biggr)\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{2}}{N},k_{2}+2\biggr)-\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},k_{2}+2\biggr)\biggr),\nonumber\end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray}\displaystyle F & = & \displaystyle F^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2})\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle -i^{k_{1}}\frac{(k_{1}+2)(k_{2}+2)}{4N^{k_{1}+2}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{1}+k_{2}+1}N^{-k_{2}-1}I_{3}\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6FF}_{k_{1}=0}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}=0}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{a_{2}\neq 0}\frac{k_{2}!(k_{2}+2)}{2N^{2}}\biggl(2\biggl\{\frac{a_{2}}{N}\biggr\}-1\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},k_{2}+1\biggr)+(-1)^{k_{2}+1}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{2}}{N},k_{2}+1\biggr)\biggr)\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{1}}{N},1\biggr)+\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{1}}{N},1\biggr)\biggr).\hspace{72.0pt}\nonumber\end{eqnarray}$$

Dans la formule pour $B$ , le symbole $\unicode[STIX]{x1D701}^{(\ast )}$ indique que l’on prend la valeur régularisée lorsque $k_{2}=0$ .

Montrons maintenant que les termes $C$ et $F$ se simplifient. D’après la formule (8), on a

(34) $$\begin{eqnarray}\displaystyle \hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{2}}{N},1\biggr)-\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},1\biggr)=2i\unicode[STIX]{x1D70B}\biggl(\frac{1}{2}-\biggl\{\frac{a_{2}}{N}\biggr\}\biggr). & & \displaystyle\end{eqnarray}$$

D’autre part, en appliquant la formule de Hurwitz (6) en $s=k_{2}+1$ , il vient

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},-k_{2}\biggr) & = & \displaystyle \frac{k_{2}!}{(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}+1}}\biggl((-i)^{k_{2}+1}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},k_{2}+1\biggr)+i^{k_{2}+1}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{2}}{N},k_{2}+1\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle (-i)^{k_{2}+1}\frac{k_{2}!}{(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}+1}}\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},k_{2}+1\biggr)+(-1)^{k_{2}+1}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{2}}{N},k_{2}+1\biggr)\biggr).\nonumber\end{eqnarray}$$

De même, on a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{b_{2}}{N},-k_{2}\biggr)=(-i)^{k_{2}+1}\frac{k_{2}!}{(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}+1}}\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{2}}{N},k_{2}+1\biggr)+(-1)^{k_{2}+1}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},k_{2}+1\biggr)\biggr). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

On en déduit

(35) $$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},-k_{2}\biggr)+(-1)^{k_{2}+1}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{b_{2}}{N},-k_{2}\biggr) & = & \displaystyle 2\frac{(-i)^{k_{2}+1}k_{2}!}{(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}+1}} (\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},k_{2}+1\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,(-1)^{k_{2}+1}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{2}}{N},k_{2}+1\biggr)\!).\end{eqnarray}$$

En reportant (34) et (35) dans le terme $C$ , on obtient

$$\begin{eqnarray}\displaystyle C & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6FF}_{k_{1}=0}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}=0}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{a_{2}\neq 0}\frac{k_{2}+2}{2N^{2}}(2i\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}}\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{1}}{N},1\biggr)+\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{1}}{N},1\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,2i\unicode[STIX]{x1D70B}\biggl(\frac{1}{2}-\biggl\{\frac{a_{2}}{N}\biggr\}\biggr)2\frac{(-i)^{k_{2}+1}k_{2}!}{(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}+1}}\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},k_{2}+1\biggr)+(-1)^{k_{2}+1}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{2}}{N},k_{2}+1\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6FF}_{k_{1}=0}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{b_{1}=0}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{a_{2}\neq 0}\frac{k_{2}!(k_{2}+2)}{2N^{2}}\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{1}}{N},1\biggr)+\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{1}}{N},1\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,\biggl(1-2\biggl\{\frac{a_{2}}{N}\biggr\}\biggr)\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{2}}{N},k_{2}+1\biggr)+(-1)^{k_{2}+1}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{2}}{N},k_{2}+1\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle -F.\nonumber\end{eqnarray}$$

Nous allons maintenant simplifier d’autres termes, en distinguant les cas suivant $k_{2}$ .

Premier cas: $k_{2}=0$ .

On a alors $D=0$ . Nous allons montrer que $B+E=0$ . On a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle B & = & \displaystyle (-1)^{k_{1}}\frac{(k_{1}+2)!}{4\unicode[STIX]{x1D70B}^{2}N^{2}}\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},k_{1}+2\biggr)+(-1)^{k_{1}}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{1}}{N},k_{1}+2\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{2}}{N},2\biggr)-\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},2\biggr)\biggr)\biggl(\unicode[STIX]{x1D701}^{\ast }\biggl(-\frac{b_{2}}{N},1\biggr)-\unicode[STIX]{x1D701}^{\ast }\biggl(\frac{b_{2}}{N},1\biggr)\biggr)\nonumber\end{eqnarray}$$

et

$$\begin{eqnarray}\displaystyle E & = & \displaystyle (-1)^{k_{1}}i\frac{(k_{1}+2)!}{4\unicode[STIX]{x1D70B}N^{2}}a_{0}(H_{b_{2},a_{1}}^{(1)}+H_{b_{2},-a_{1}}^{(1)})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},k_{1}+2\biggr)+(-1)^{k_{1}}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{1}}{N},k_{1}+2\biggr)\biggr)\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{2}}{N},2\biggr)-\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},2\biggr)\biggr).\nonumber\end{eqnarray}$$

Si $b_{2}=0$ , alors $H_{0,a_{1}}^{(1)}+H_{0,-a_{1}}^{(1)}=0$ et donc $B=E=0$ . Nous pouvons donc supposer $b_{2}\neq 0$ . D’après la formule (9), on a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D701}^{\ast }\biggl(-\frac{b_{2}}{N},1\biggr)-\unicode[STIX]{x1D701}^{\ast }\biggl(\frac{b_{2}}{N},1\biggr)=i\unicode[STIX]{x1D70B}\frac{\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-b_{2}}+1}{\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-b_{2}}-1}=i\unicode[STIX]{x1D70B}\frac{1+\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{b_{2}}}{1-\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{b_{2}}}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

D’après la définition 3.9 et en utilisant l’identité

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \frac{1+\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{a}}{1-\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{a}}+\frac{1+\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-a}}{1-\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{-a}}=0\quad (a\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}-\{0\}), & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

il vient

$$\begin{eqnarray}\displaystyle a_{0}(H_{b_{2},a_{1}}^{(1)}+H_{b_{2},-a_{1}}^{(1)})=-\frac{1+\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{b_{2}}}{1-\unicode[STIX]{x1D701}_{N}^{b_{2}}}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

En reportant dans $B$ et $E$ , on obtient $B+E=0$ . Au final, on a donc dans ce cas

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \int _{X^{k}\{0,\infty \}}^{\ast }p_{1}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1}}(u_{1})\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{2}+1}(p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{2}}(u_{2}))=A\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =i^{k_{1}+1}\frac{(k_{1}+2)}{2N^{k_{1}+2}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{1}+1}\unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }((G_{b_{2},a_{1}}^{(1)}+G_{b_{2},-a_{1}}^{(1)})(G_{b_{1},-a_{2}}^{(k_{1}+1)}-G_{b_{1},a_{2}}^{(k_{1}+1)}),0).\nonumber\end{eqnarray}$$

Second cas: $k_{2}\geqslant 1$ .

Puisque $\unicode[STIX]{x1D701}(-b_{2}/N,-k_{2}+1)=(-1)^{k_{2}}\unicode[STIX]{x1D701}(b_{2}/N,-k_{2}+1)$ , on a $B=0$ (lorsque $k_{2}=1$ , on utilise ici l’hypothèse $b_{2}\neq 0$ ).

Comparons les termes $D$ et $E$ . On a

$$\begin{eqnarray}\displaystyle E & = & \displaystyle (-1)^{k_{1}}i\frac{(k_{1}+2)(k_{2}+2)(k+1)!}{8\unicode[STIX]{x1D70B}N^{2}}\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{1}}{N},-k_{2}\biggr)+\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{1}}{N},-k_{2}\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},k+2\biggr)+(-1)^{k_{1}}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{1}}{N},k+2\biggr)\biggr)\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{2}}{N},k_{2}+2\biggr)-\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},k_{2}+2\biggr)\biggr).\nonumber\end{eqnarray}$$

D’après (11), on a $\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}(-a_{1}/N,-k_{2})+\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}(a_{1}/N,-k_{2})=0$ si $k_{2}$ est pair. Donc $E=0$ dès que $k_{2}$ est pair, et nous supposons désormais $k_{2}$ impair. Par la formule d’Hurwitz en $s=k_{2}+2$ , on obtient

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},-k_{2}-1\biggr) & = & \displaystyle \frac{(k_{2}+1)!}{(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}+2}}\biggl((-i)^{k_{2}+2}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},k_{2}+2\biggr)+i^{k_{2}+2}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{2}}{N},k_{2}+2\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \frac{i^{k_{2}+2}(k_{2}+1)!}{(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}+2}}\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{2}}{N},k_{2}+2\biggr)-\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},k_{2}+2\biggr)\biggr).\nonumber\end{eqnarray}$$

Appliquons maintenant la formule d’Hurwitz aux termes à l’intérieur de la limite dans $D$ . Il vient

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{b_{1}}{N},s-k-1\biggr) & = & \displaystyle \frac{\unicode[STIX]{x1D6E4}(k+2-s)}{(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k+2-s}} (e^{-(i\unicode[STIX]{x1D70B}/2)(k+2-s)}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{1}}{N},k+2-s\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,e^{(i\unicode[STIX]{x1D70B}/2)(k+2-s)}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},k+2-s\biggr)\!),\nonumber\end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},s-k-1\biggr) & = & \displaystyle \frac{\unicode[STIX]{x1D6E4}(k+2-s)}{(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k+2-s}} (e^{-(i\unicode[STIX]{x1D70B}/2)(k+2-s)}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},k+2-s\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,e^{(i\unicode[STIX]{x1D70B}/2)(k+2-s)}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{1}}{N},k+2-s\biggr)\!),\nonumber\end{eqnarray}$$

d’où l’on déduit

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{b_{1}}{N},s-k-1\biggr)+(-1)^{k_{1}}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},s-k-1\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =\frac{\unicode[STIX]{x1D6E4}(k+2-s)}{(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k+2-s}} (e^{-(i\unicode[STIX]{x1D70B}/2)(k+2-s)}(1-e^{-i\unicode[STIX]{x1D70B}s})\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{1}}{N},k+2-s\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad +\,e^{(i\unicode[STIX]{x1D70B}/2)(k+2-s)}(1-e^{i\unicode[STIX]{x1D70B}s})\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},k+2-s\biggr)\!).\nonumber\end{eqnarray}$$

Lorsque $s\rightarrow 0$ , on a $\unicode[STIX]{x1D6E4}(s-k_{2}-1)\sim (1/(k_{2}+1)!)s^{-1}$ et $1-e^{\pm i\unicode[STIX]{x1D70B}s}\sim \mp i\unicode[STIX]{x1D70B}s$ d’où

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \lim _{s\rightarrow 0}\biggl(\unicode[STIX]{x1D6E4}(s-k_{2}-1)\biggl(\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(\frac{b_{1}}{N},s-k-1\biggr)+(-1)^{k_{1}}\unicode[STIX]{x1D701}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},s-k-1\biggr)\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =\frac{(k+1)!}{(k_{2}+1)!(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k+2}}\biggl((-i)^{k+2}i\unicode[STIX]{x1D70B}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{1}}{N},k+2\biggr)+i^{k+2}(-i\unicode[STIX]{x1D70B})\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},k+2\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =\frac{(k+1)!(-i)^{k+2}i\unicode[STIX]{x1D70B}}{(k_{2}+1)!(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k+2}}\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{1}}{N},k+2\biggr)+(-1)^{k_{1}}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},k+2\biggr)\biggr).\nonumber\end{eqnarray}$$

En reportant dans $D$ , on obtient

$$\begin{eqnarray}\displaystyle D & = & \displaystyle -i^{k_{1}}\frac{(k_{1}+2)(k_{2}+2)}{2N^{2}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{1}+2k_{2}+2}\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{1}}{N},-k_{2}\biggr)+\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{1}}{N},-k_{2}\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,\frac{i^{k_{2}+2}(k_{2}+1)!}{(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k_{2}+2}}\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{2}}{N},k_{2}+2\biggr)-\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},k_{2}+2\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,\frac{(k+1)!(-i)^{k+2}i\unicode[STIX]{x1D70B}}{(k_{2}+1)!(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k+2}}\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{1}}{N},k+2\biggr)+(-1)^{k_{1}}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},k+2\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle -i\frac{(k_{1}+2)(k_{2}+2)(k+1)!}{8\unicode[STIX]{x1D70B}N^{2}}\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{1}}{N},-k_{2}\biggr)+\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{1}}{N},-k_{2}\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{a_{2}}{N},k_{2}+2\biggr)-\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{a_{2}}{N},k_{2}+2\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \cdot \,\biggl(\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(\frac{b_{1}}{N},k+2\biggr)+(-1)^{k_{1}}\hat{\unicode[STIX]{x1D701}}\biggl(-\frac{b_{1}}{N},k+2\biggr)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle -E.\nonumber\end{eqnarray}$$

Au final, on a donc dans ce cas

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \int _{X^{k}\{0,\infty \}}^{\ast }p_{1}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1}}(u_{1})\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{2}+1}(p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{2}}(u_{2}))=A. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Dans tous les cas, on a donc

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \int _{X^{k}\{0,\infty \}}^{\ast }p_{1}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1}}(u_{1})\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{2}+1}(p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{2}}(u_{2}))=A^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2}). & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Démonstration du théorème 1.1.

Rappelons que la forme différentielle $\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2})$ est donnée par

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2}) & = & \displaystyle p_{1}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1}}(u_{1})\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{2}+1}(p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{2}}(u_{2}))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,(-1)^{k_{1}+1}\unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{1}+1}(p_{1}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{1}}(u_{1}))\wedge p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{2}}(u_{2})\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle p_{1}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1}}(u_{1})\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{2}+1}(p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{2}}(u_{2}))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle +\,(-1)^{(k_{1}+1)(k_{2}+1)}p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{2}}(u_{2})\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{1}+1}(p_{1}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{1}}(u_{1})).\nonumber\end{eqnarray}$$

Notons $\unicode[STIX]{x1D703}:E^{k}\rightarrow E^{k}$ l’isomorphisme défini par

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \unicode[STIX]{x1D703}:E^{k}=E^{k_{2}}\times _{Y(N)}E^{k_{1}}\xrightarrow[{}]{\cong }E^{k_{1}}\times _{Y(N)}E^{k_{2}}=E^{k}. & & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Cet isomorphisme laisse stable le cycle de Shokurov $X^{k}\{0,\infty \}$ en multipliant l’orientation par $(-1)^{k_{1}k_{2}}$ . Il vient donc

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \int _{X^{k}\{0,\infty \}}^{\ast }p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{2}}(u_{2})\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{1}+1}(p_{1}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{1}}(u_{1}))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =(-1)^{k_{1}k_{2}}\int _{X^{k}\{0,\infty \}}^{\ast }\unicode[STIX]{x1D703}^{\ast }(p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{2}}(u_{2})\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{k_{1}+1}(p_{1}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{k_{1}}(u_{1})))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =(-1)^{k_{1}k_{2}}A^{k_{2},k_{1}}(u_{2},u_{1}).\nonumber\end{eqnarray}$$

On obtient ainsi

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \int _{X^{k}\{0,\infty \}}^{\ast }\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =A^{k_{1},k_{2}}(u_{1},u_{2})+(-1)^{k_{1}+k_{2}+1}A^{k_{2},k_{1}}(u_{2},u_{1})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =\frac{(k_{1}+2)(k_{2}+2)}{4N^{k+2}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k+1} (i^{k_{1}-k_{2}+1}\unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }((G_{b_{2},a_{1}}^{(k_{2}+1)}+G_{b_{2},-a_{1}}^{(k_{2}+1)})(G_{b_{1},-a_{2}}^{(k_{1}+1)}-G_{b_{1},a_{2}}^{(k_{1}+1)}),0)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad +\,(-1)^{k_{1}+k_{2}+1}i^{k_{2}-k_{1}+1}\unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }((G_{b_{1},a_{2}}^{(k_{1}+1)}+G_{b_{1},-a_{2}}^{(k_{1}+1)})(G_{b_{2},-a_{1}}^{(k_{2}+1)}-G_{b_{2},a_{1}}^{(k_{2}+1)}),0))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =\frac{(k_{1}+2)(k_{2}+2)}{4N^{k+2}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k+1}i^{k_{1}-k_{2}+1}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad \cdot \,\unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }((G_{b_{2},a_{1}}^{(k_{2}+1)}+G_{b_{2},-a_{1}}^{(k_{2}+1)})(G_{b_{1},-a_{2}}^{(k_{1}+1)}-G_{b_{1},a_{2}}^{(k_{1}+1)})-(G_{b_{1},a_{2}}^{(k_{1}+1)}+G_{b_{1},-a_{2}}^{(k_{1}+1)})(G_{b_{2},-a_{1}}^{(k_{2}+1)}-G_{b_{2},a_{1}}^{(k_{2}+1)}),0)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =\frac{(k_{1}+2)(k_{2}+2)}{2N^{k+2}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k+1}i^{k_{1}-k_{2}+1}\unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }(G_{b_{2},a_{1}}^{(k_{2}+1)}G_{b_{1},-a_{2}}^{(k_{1}+1)}-G_{b_{2},-a_{1}}^{(k_{2}+1)}G_{b_{1},a_{2}}^{(k_{1}+1)},0).\Box \nonumber\end{eqnarray}$$

Nous terminons par un résultat partiel pour le calcul du régulateur dans le cas où $k_{i}=1$ et $b_{i}=0$ .

Théorème 9.5. Soit $k\geqslant 0$ un entier. Soit $N\geqslant 3$ un entier, et soient $a,a^{\prime },b,c\in \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}$ . Supposons $(a,b),(a^{\prime },b)\neq (0,0)$ si $k=0$ , et $b\neq 0$ si $k=1$ . Alors

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \int _{X^{k+1}\{0,\infty \}}^{\ast }\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k,1}((a,b),(c,0))-\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k,1}((a^{\prime },b),(c,0))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =\frac{3(k+2)}{2N^{k+3}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k+2}i^{k}\unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }((G_{0,a}^{(2)}-G_{0,a^{\prime }}^{(2)})G_{b,-c}^{(k+1)}-(G_{0,-a}^{(2)}-G_{0,-a^{\prime }}^{(2)})G_{b,c}^{(k+1)},0).\nonumber\end{eqnarray}$$

Notons que les séries d’Eisenstein $G_{0,a}^{(2)}$ sont seulement quasi-modulaires, mais que les différences $G_{0,a}^{(2)}-G_{0,a^{\prime }}^{(2)}$ sont modulaires.

Démonstration.

On a comme dans le calcul précédent

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \int _{X^{k+1}\{0,\infty \}}^{\ast }p_{1}^{\ast }(\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k}(a,b)-\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k}(a^{\prime },b))\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{2}(p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{1}(c,0))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =A^{k,1}((a,b),(c,0))-A^{k,1}((a^{\prime },b),(c,0))+B^{k,1}((a,b),(c,0))-B^{k,1}((a^{\prime },b),(c,0))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad +\,C^{k,1}((a,b),(c,0))-C^{k,1}((a^{\prime },b),(c,0))+D^{k,1}((a,b),(c,0))-D^{k,1}((a^{\prime },b),(c,0))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad +\,E^{k,1}((a,b),(c,0))-E^{k,1}((a^{\prime },b),(c,0))+F^{k,1}((a,b),(c,0))-F^{k,1}((a^{\prime },b),(c,0)).\nonumber\end{eqnarray}$$

Comme $B^{k,1}((a,b),(c,0))$ ne dépend pas de $a$ , on a $B^{k,1}((a,b),(c,0))-B^{k,1}((a^{\prime },b),(c,0))=0$ . On a également

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & \displaystyle C^{k,1}((a,b),(c,0))+F^{k,1}((a,b),(c,0))=0, & \displaystyle \nonumber\\ \displaystyle & \displaystyle C^{k,1}((a^{\prime },b),(c,0))+F^{k,1}((a^{\prime },b),(c,0))=0. & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Par ailleurs les termes $D$ et $E$ ne font pas intervenir $b_{2}$ , donc le calcul précédent montre que

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & \displaystyle D^{k,1}((a,b),(c,0))+E^{k,1}((a,b),(c,0))=0, & \displaystyle \nonumber\\ \displaystyle & \displaystyle D^{k,1}((a^{\prime },b),(c,0))+E^{k,1}((a^{\prime },b),(c,0))=0. & \displaystyle \nonumber\end{eqnarray}$$

Il reste

(36) $$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \int _{X^{k+1}\{0,\infty \}}^{\ast }p_{1}^{\ast }(\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k}(a,b)-\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k}(a^{\prime },b))\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{2}(p_{2}^{\ast }\,\text{Eis}_{\text{hol}}^{1}(c,0))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =A^{k,1}((a,b),(c,0))-A^{k,1}((a^{\prime },b),(c,0))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =i^{k}\frac{3(k+2)}{4N^{k+3}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k+2}\unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }((G_{0,a}^{(2)}-G_{0,a^{\prime }}^{(2)}+G_{0,-a}^{(2)}-G_{0,-a^{\prime }}^{(2)})(G_{b,-c}^{(k+1)}-G_{b,c}^{(k+1)}),0).\end{eqnarray}$$

D’autre part, en notant $q_{1}:E^{1+k}\rightarrow E$ et $q_{2}:E^{1+k}\rightarrow E^{k}$ les deux projections canoniques, il vient

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \int _{X^{k+1}\{0,\infty \}}^{\ast }q_{1}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{1}(c,0)\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{k+1}(q_{2}^{\ast }(\text{Eis}_{\text{hol}}^{k}(a,b)-\text{Eis}_{\text{hol}}^{k}(a^{\prime },b)))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =A^{1,k}((c,0),(a,b))-A^{1,k}((c,0),(a^{\prime },b))+B^{1,k}((c,0),(a,b))-B^{1,k}((c,0),(a^{\prime },b))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad +\,C^{1,k}((c,0),(a,b))-C^{1,k}((c,0),(a^{\prime },b))+D^{1,k}((c,0),(a,b))-D^{1,k}((c,0),(a^{\prime },b))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad +\,E^{1,k}((c,0),(a,b))-E^{1,k}((c,0),(a^{\prime },b))+F^{1,k}((c,0),(a,b))-F^{1,k}((c,0),(a^{\prime },b)).\nonumber\end{eqnarray}$$

On vérifie directement que tous les termes $B$ à $F$ sont nuls, et il reste

(37) $$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \int _{X^{k+1}\{0,\infty \}}^{\ast }q_{1}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{1}(c,0)\wedge \unicode[STIX]{x1D70B}_{k+1}(q_{2}^{\ast }(\text{Eis}_{\text{hol}}^{k}(a,b)-\text{Eis}_{\text{hol}}^{k}(a^{\prime },b)))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =A^{1,k}((c,0),(a,b))-A^{1,k}((c,0),(a^{\prime },b))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =i^{2-k}\frac{3(k+2)}{4N^{k+3}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k+2}\unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }((G_{0,-a}^{(2)}-G_{0,-a^{\prime }}^{(2)}-G_{0,a}^{(2)}+G_{0,a^{\prime }}^{(2)})(G_{b,c}^{(k+1)}+G_{b,-c}^{(k+1)}),0).\end{eqnarray}$$

D’après (36) et (37), on obtient finalement

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \int _{X^{k+1}\{0,\infty \}}^{\ast }\,\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k,1}((a,b),(c,0))-\text{Eis}_{{\mathcal{D}}}^{k,1}((a^{\prime },b),(c,0))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =A^{k,1}((a,b),(c,0))-A^{k,1}((a^{\prime },b),(c,0))+(-1)^{k}(A^{1,k}((c,0),(a,b))-A^{1,k}((c,0),(a^{\prime },b)))\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =\frac{3(k+2)}{2N^{k+3}}(2\unicode[STIX]{x1D70B})^{k+2}i^{k}\unicode[STIX]{x1D6EC}^{\ast }((G_{0,a}^{(2)}-G_{0,a^{\prime }}^{(2)})G_{b,-c}^{(k+1)}-(G_{0,-a}^{(2)}-G_{0,-a^{\prime }}^{(2)})G_{b,c}^{(k+1)},0).\Box \nonumber\end{eqnarray}$$