Opérateurs différentiels associés à certaines représentations unitaires d'un groupe de Lie résoluble exponentiel

Abstract

Soient G = exp ${\frak g}$ un groupe de Lie résoluble exponentiel et H = exp ${\frak h}$ un sous-groupe connexe de G. Soient χ un caractère unitaire de H et τ = ${\rm Ind}_{H}^{G}$χ. Soit D_τ(G/H) l'algèbre des opérateurs différentiels G-invariants sur G/H. Une question posée par Duflo et Corwin-Greenleaf consiste à voir si la finitude des multiplicités de τ est équivalente à la commutativité de D_τ(G/H). Nous répondons positivement à cette question quand H est normal dans G. Lorsque H n'est pas normal, nous préparons le terrain pour d'espaces homogènes nilpotents et nous répondons à la question dans différents cas. Nous étudions finalement l'algèbre D_π(G)^H, π∈Ĝ des opérateurs différentiels qui laissent l'espace des vecteurs C^∞ de π invariant et qui commuttent avec l'action de H sur cet espace.