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L'histoire des nombres amiables: le témoignage des textes hébreux médiévaux

Published online by Cambridge University Press:  24 October 2008

Tony Lévy
Tony Lévy
Affiliation:
Centre d'histoire des sciences et des philosophies arabes et médiévales, C.N.R.S., 7 rue Guy Môquet, B.P. n° 8, 94801 Villejuif Cédex, France
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Abstract

This article analyzes new material on the history of the amicable numbers. It discusses Hebrew texts which throw new light on the diffusion in Medieval Europe of Ṯābit ibn Qurra's (9th century) work. We find Ṯābit's theorem on amicable numbers in a Hebrew translation, made in Saragossa in 1395, of an arithmetical commentary written by Abū al-Ṣalt al-Andalusī (ca. 1068–1134), and also in an original Hebrew text probably written by the Jewish Provençal scholar Qalonymos ben Qalonymos (1287 – after 1329). These texts lend strong support to the surmise that the Arabic tradition concerning amicable numbers could not have remained unknown to European mathematicians before the work of Descartes and Fermat in the 17th century.

Dans cet article, on analyse des données nouvelles concernant l'histoire des nombres amiables. Les textes hébreux qui sont cités permettent d'éclairer la diffusion, dans l'Europe médiévale, des résultats établis par Tābit ibn Qurra au IXe siècle: en effet, le théorème sur les nombres amiables auquel est attaché son nom apparaît aussi bien dans une traduction effectuée à Saragosse, en 1395, d'un commentaire arithmétique d'Abū al-Ṣalt al-Andalusī (ca. 1068–1134), que dans une composition originale attribuée au savant juif provençal Qalonymos ben Qalonymos d'Arles (1287 – ap. 1329). Ces témoignages renforcent l'hypothèse selon laquelle la tradition arabe dans ce domaine n'a pas pu être ignorée des mathématiciens européens, avant les résultats énoncés par Descartes et Fermat au XVIIe siècle.

Type
Research Article
Information
Arabic Sciences and Philosophy , Volume 6 , Issue 1 , March 1996 , pp. 63 - 87
Copyright
Copyright © Cambridge University Press 1996

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References

1 Steinschneider, M., Mathematik bei den Juden (1893–1901; réimpr. Hildesheim, 1964), p. 126. Évoquant le contenu d'un ouvrage intitulé Le livre des rois dont il avait précédemment signalé l'intérêt (voir plus loin), Steinschneider indiquait: “… Unter And. ist von den ‘befreundeten Zahlen’ die Rede, einem Lieblingsthema einiger arabischen Arithmetiker und Mystiker.” Cette référence avait été relevée parGoogle ScholarDickson, L.E.: History of the Theory of Numbers 3 vol. (Washington, 1919–1923), vol. I, p. 39.Google Scholar

2 Rashed, R., “Nombres amiables, parties aliquotes et nombres figurés aux XIIIe et XIVe siècles,” Archive for History of Exact Sciences, 28 (1983): 107–47 [=CrossRefGoogle Scholarid., Entre arithmétique et algèbre. Recherches sur l'histoire des mathématiques arabes (Paris, 1984), pp. 259–99]Google Scholar; id., “Matériaux pour l'histoire des nombres amiables et de l'analyse combinatoire” (en arabe), Journal for the History of Arabie Science, 6 (1982): 209–78 (présentation en français, pp. 209–11)Google Scholar; id., “Ibn al-Haytham et les nombres parfaits,” Historia Mathematica, 16 (1989): 343–52 [=CrossRefGoogle Scholarid., Optique et mathématiques. Recherches sur l'histoire de la pensée scientifique en arabe, Variorum Reprints (Aldershot, 1992), n° XI.Google ScholarHogendijk, Voir aussi J.P., “Thābit ibn Qurra and the pair of amicable numbers 17 296, 18 416,” Historia Mathematica, 12 (1985): 269–73CrossRefGoogle Scholar; S. Brentjes and J.P. Hogendijk, “Notes on Thābit ibn Qurra and his rule for amicable numbers,” Ibid., 16 (1989): 373–8.

3 Rashed, “Nombres amiables,” p. 117: “…Cette tradition, car c'est bien de cela qu'il s'agit, est-elle restée inconnue des mathématiciens d'Europe? Une telle éventualité, bien que peu probable, demeure néanmoins possible tant qu'on ne possède aucun document explicite. Si l'on considère que l'auteur [Tābit] dont il s'agit était déjà connu en Europe pour plusieurs de ses travaux en astronomie et en mécanique, cette probabilité diminue encore.”Google Scholar;

4 Oxford, Bodleian Library, MS Neubauer, Heb. 2774, fols. 47b-59a. Le codex regroupe plusieurs textes arithmétiques ainsi que des commentaires de tables astronomiques.Google ScholarSteinschneider, M. considérait comme peu plausible l'identité du traducteur, un mécène et lettré bien connu d'autre part (“Mathema;k bei den Juden. 1551–1840,” Monatsschrift für die Geschichte und Wissenschaft des Judenthums, 50 [1906], p. 613); les arguments avancés méritent un examen détaillé que nous n'entreprendrons pas dans le cadre de cet article: quoi qu'il en soit, nous retiendrons la date et le heu de rédaction de cette copie.Google Scholar

5 “Ce livre est achevé. C'est le livre d'arithmétique de Umayya b. 'Abd al-'Azīz [ibn] Abū al-Salt, qui traite succinctement des nombres, ajoutant des compléments au livre de Nicomaque de Gérase, le pythagoricien” (fol. 59a). L'auteur du colophon, qui n'est pas le copiste du corps du texte, est un certain Eliahu b. Eli'ezer, qui a complété de gloses substantielles tous les textes arithmétiques du codex, en 1522. Certaines des corrections qu'il apporte semblent attester qu'il disposait d'une autre copie: celle-ci indiquait-elle explicitement le nom du savant arabe?Google Scholar

6 Seuls, le début (fol. 47b, 1. 1–11) et la fin (fol. 57b, 1. 29 - fol. 59a) ne correspondent pas au texte avicennien, qu'ils semblent compléter. L'original arabe d'Abū al-Salt ne nous est pas connu; il n'y a toutefois pas de raison de récuser l'information donnée par le colophon: nous considérons donc que nous disposons là d'une version hébraïque d'un ouvrage d'Abū al-Salt.Google Scholar

7 Munich, Bayerische Staatsbibliothek, MS Hebr. 290, fols. 49a-62a. En son temps, Steinschneider, M. avait attiré l'attention sur ce texte anonyme, sur les références aux nombres amiables qui y figuraient, et proposé de l'attribuer à Qalonymos: “Das Königsbuch des Kalonymos,” Jüdische Zeitschrift für Wissenschaft und Leben, 8 (1870): 118–22.Google Scholar

8 Rashed, “Nombres amiables,” pp. 109–10.Google Scholar

9 À cet égard, nous voudrions souligner ceci: il ne faut jamais négliger l'importance, pour les savants juifs hébréophones, de l'intérêt manifesté par des savants juifs arabophones (qui les ont précédés dans le temps) pour tel ou tel domaine du savoir, même si, d'un point de vue strictement historiographique, les contributions de ces derniers relèvent de l'histoire des sciences “arabes.” Dans de précédentes études, nous avons pu mesurer les effets de cette “légitimation,” dans le développement de commentaires en hébreu, sur des sujets tels que la propriété asymptotique de l'hyperbole, ou le postulat des parallèles. Pour une vue d'ensemble de la circulation des idées scientifiques dans le monde juif médiéval, ainsi qu'une analyse des conditions et des limites e leur appropriation, voir, : Freudenthal, G., “Les sciences dans les communautés juives médiévales de Provence: leur appropriation, leur rôle,” Revue des études juives, 152 (1993): 29–136.Google Scholar

10 al-Qiftī, Ibn, Ta'rīḫ al-hukamā', éd. Lippert, J. (Leipzig, 1903), p. 319: “… II [Maïmonide] a adapté [hadḏaba] le livre al-Istikmāl d'Ibn Hūd sur les sciences mathématiques. C'est un ouvrage d'ensemble, un bel ouvrage qui demandait à être établirigoureusement [yahtāg ilā tahqīq: qui nécessitait des précisions?]; l'a donc établi [fa-haqqaqahu] et l'a corrigé [aṣlaḥahu] et il [le livre] fut étudié sous sa direction [wa-quri'a 'alayhi]…”. Les sources bibliographiques juives sont muettes sur cette attribution. Voir:Google ScholarLangermann, Y. T., “The mathematical writings of Maimonides”, The Jewish Quarterly Review, 125 (1984): 57–65. Sur le point précis de l'activité mathématique de Maïmonide, la source du biobiliographe arabe pourrait bien avoir été le propreélève de Maïmonide, le dédicataire du célèbre Guide des égarés: il s'agit de Joseph b. Yehuda b. Šim'on, cité par les auteurs arabes sous le nom de Yūsuf b. Yahyā b. Šam'ūn al-Sabtī (= natif de Ceuta). Après avoir travaillé sous la direction de Maïmonide, ce Joseph b. Yehuda se redit en Syrie, où il fit la connaissance d'al-Qiftī, dont il devint un ami proche, selon le témoignage de ce dernierCrossRefGoogle Scholar(Ta'rīḫ al-huhamā, pp. 392–4).Google ScholarVoir, à ce propos Munk, S., Notice sur Joseph Ben-Iehouda ou Aboul' Hadjadj Yousouf ben Yahya al-Sabti al-Maghrebi, disciple de Maïmonide (Paris, 1842) [Extrait de Journal Asiatique 3e série, t. 14 (1842)]; etGoogle ScholarStern, S.M., “A collection of treatises by ‘Abd al-Latīf al-Baghdād” dans id., Medieval Arabic and Hebrew Thought ed. by Zimmermann, F.W. (London, 1983), n° XVIII, p. 61. C'st de la plume même de Maïmondie que nous apprenons l'importance et la place spécifique qu'il accorde à l'étude des mathématiques et de l'astornomie, et le ro d'enseignant qui dut le sien dans la formation du dédicataire, voir Le guide des égraés (texte arable [en caractères hébraïques] établi et traduit en français parGoogle ScholarMunk, S.), 3 vol. (Paris, 1856–1866), vol. I: arabe, p. 1; trad., p. 4.Google Scholar

11 Hogendijk, J. P., “Discovery of an 11th-century geometrical compilation: the Istikmāl of Yūsuf al-Mu'taman ibn Hūd, King of Saragossa,” Historia Mathematica, 13 (1986): 43–52CrossRefGoogle Scholar; Rashed, “Ibn al-Haytham”, p. 351, n. 1.Google Scholar

12 Je dois à la courtoisie de Sonia Brentjes (Leipzig), et je l'en remrcie, d'avoir pu consulter une photocopie du manuscrit du Caire de l'ouvrage d'al-Mu'taman: Dār al-kutub, Muṩḍafā Fāḍ il, Riyāḍa 40, fols. 1b–37b.Google Scholar

13 Langermann, T. avait relevé dans un commentaire à l'Almageste, dû à Samuel b. Yehuda de Marseille (XIVe siècle) deux références à un ouvrage intitulé Sefer ha-Šalem, expression hébraïque qui correspondrait fort bien à l'arabe Kitāb al-Istikmāl. Compte tenu du contexte géométrique de ces références, T. Langermann se demandait si Samuel de Marseille n'avait pas disposé d'une copie du livre al-Istikmāl (Langermann, “The mathematical writings of Maimonides,” p. 65, n. 26). Nous avons examiné les références indiquées par Langermann (Vatican, MS Ebr. 398, fols. 100a et 102b) à la lumière du plan détaillé de la partie géométrique de l'Istikmāl, publié récemment parGoogle ScholarHogendijk, J.P.: “The geometrical parts of the Istikmāl of Yūsuf al-Mu'taman ibn Hūd (11th Century). An analytical table of contents,” Archives internationales d'histoire des sciences, 41 (1991): 207–81. Cette confrontation valide la conjecture de Langermann: c'est bien à l'ouvrage d'al-Mu'taman que se réfère le texte hébreu. Samuel de Marseille est un traducteur de l'arabe en hébreu. On ne peut donc pas conclure de ces références à l'existence d'une version hébraïque de l'ouvrage d'al-Mu'taman.Google Scholar

14 Sirat, C., La philosophie juive au Moyen Âge (Paris, 1983), pp. 236–7.CrossRefGoogle Scholar

15 Tibb al-nufūs al-alīma…La partie du texte arabe relative à l'éducation a été éditée (en caractères hébraïques) et traduite en allemand dans Güdemann, M., Das jüdische Unterrichtswesen während der spanish-arabischen Periode (Wien, 1873; réimpr. Amsterdam, 1968).Google Scholar

16 Ibid., texte arabe, p. 28; l'expression arabe est curieusement traduite par Güdemann “Über die korrespondirenden Zahlen” (trad. all., p. 88).

17 le titre, SousChapitre sur l'élève, le maître et l'enseignement [Pereq ha-talmid, hamelammed we ha-limmud], il s'agit d'une adaptation, parfois un résumé, du texte arabe. Nous en connaissons deux copies: Vienne, Osterreichische Nationalbibliothek, MS Schwarz, Hebr. 163 [olim, Hebr. 110], fols. 32a–36a; Florence, Biblioteca Laurenziana, MS Plut. I. 26, fols. 205a–209b. Le passage que nous avons cité (et donc la référence aux nombres amiables) ne figure pas dans le texte hébreu, qui se contente d'indiquer que l'ouvrage d'al-Mu'taman (désigné sous le titre ha-Sefer ha-Šalem, comme chez Samuel de Marseille) traite du nombre dans la première des cinq parties qui le composent.Google Scholar

18 Munk, “Notice sur Joseph ben Iehouda,” p. 55.Google Scholar

19 Grunhut, L., “L'exégèse biblique de Nahschon Gaon,” Revue des études juives, 39 (1899): 310–13. Cette référence m'a été communiquée parGoogle ScholarSaperstein, M. (Washington University in St. Louis), que je tiens à remercier. La mention des nombres amiables avait été signalée par S. Gandz, qui soulignait alors que Rabbi Nahshon était un contemporain de Ṯbit. Le texte en question, rappelait aussi S. Gandz, est reproduit par un auteur de la du XVIe siècle, Abraham Azulay.Google ScholarGandz, S., “Saadia Gaon as a mathematician,” dans Cohen, B. (éd.), Saadia Anniversary Volume (New York, 1943), pp. 141–295, voir pp. 157–8.Google Scholar

20 Dans un passage qui ne se retrouve dans aucune des sources arabes connues du texte farabien (pas plus que dans les versions latines), Qalonymos cite, comme objets de l'arithmétique théorique, “les nombres abondants, déficients, parfaits et amiables [ne'ehavim].” Le texte hébreu de Qalonymos (achevé en 1314) a été récemment édité par Zonta, M.: La “Classificazione delle scienze” di al-Fārābī nella tradizione ebraica (Torino, 1992), voir p. 15, 1.22 et p. 74 (trad. ital.).Google ScholarZonta, M. réfèpre ce passage à la tradition arithmétique nicomaqienne (La Classificazione, p. XXV), évoquant la traduction hébraïque (1317) par le même Qalonymos d'une paraphrase de I'Introduction arithmétique de Nicomaque de Gérase. Cette suggestion ne peut pas être retenue, au moins pour la référence aux nombres amiables, dans la mesure où aucune mention de ce type de nombres n'aparît dans le texte de Nicomaque (dans le texte grec ou dans la version arabe qu'en a donnée Ṯābit), pas plus que dans sa paraphrase (que nous ne connaissons que dans sa version hébraïque, traduite d'une version arabe, elle-même issue du syriaque). On serait alors plutôt tenté de se référer aux Épîtres des Frères de la pureté, que Qalonymos connaît: il a traduit en hébreu la 31e épitre, consarcée aux animauxGoogle Scholar(Zonta, , La Classificazione, p. XXII). De surcroît, à en juger par les considérations arithmologiques qu'il développe dans sa composition arithmétique (que nous analysons plus loin), Qalonymos nous paraît familier de la première de ces épîtres, celle qui est consacrée à l'arithmétique: les Frère de la pureté sont nommément cités par Qalonymos, à propos de l'analyse du nombre 2 (Munich, Bayerische Statsbibliothek, MS Hebr. 290, fol. 50b,1.22). Et nous savons la premièré épître mentionne la définition des nombers amiables et vérifie que le coupel (220, 284) en fournit un exemple (Paris, Bibliohèque nationale, MS Arabe 2303, fol. 30b). Bien entendu, on peut aussi supposer que Qalonymos disposait déjà, au moment de sa traduction, d'une documentation diversifiée.Google Scholar

21 Mantoue, Biblioteca Comunale, MS Ebr. -2, fols. 2a-263a. L'auteur de cette intéressante synthèse propose une double classification des propriétés numériques, selon que le nombre est examiné en lui-même, et selon qu'il est examiné dans sa relation à un autre nombre. Dans ce dernier cas, le nombre peut être, au regard d'un autre nombre, “commun (= avoir des diviseurs communs), séparé ( = être premier par rapport à l'autre), proportionnel, semblable ou amiable [ne'ehav]” (fol. 75a). La définition des nombres amiables est la suivante: “…Les [nombres] amiables sont les deux nombres, l'un étant abondant et l'autre étant déficient, tels que la somme des parties du [nombre] déficient sont comme le nombre abondant, et que la somme des parties du [nombre] abondant sont comme le nombre déficient dans sa totalité” (fol. 75b).Google Scholar

22 Amsterdam, 'Es Ḥayyim, MS EH. 47 D 20, fol. 227a: “…Les nombres amiables, ce sont [les nombres] 220 et 284. La raison de ce terme ‘amiables’ tient en ceci que, lorsqu'on réunit les parties de l'un d'entre eux, la somme qui en résulte, c'est l'autre nombre…”.Google Scholar

23 Le texte arabe a été édité par Ritter, H.: Pseudo-Mağrīṭī, Dos Ziel des Weisen (Leipzig, 1933), et traduit en allemand parGoogle ScholarRitter, H. et Plessner, M., “Picatrix.” Dos Ziel des Weisen von Pseudo-Mağriṭī (London, 1962), voir, p. 286.Google Scholar

24 Récemment éditée par Pingree, D.: PICATRIX. The Latin Version of the ‘Ghāyat Al-Ḥakīm’ (London, 1986), voir, pp. 167–8.Google Scholar

25 Steinschneider, M., Zur pseudepigraphischen Literatur (Berlin, 1862), pp. 28–51Google Scholar; Idel, M., “The magical and neoplatonic interpretations of the Kabbalah in the Renaissance,” dans Cooperman, B. D. (éd.), Jewish Thought in the Sixteenth Century (Cambridge, Mass., 1983), pp. 183–242, en particulier pp. 192–3.Google Scholar

26 Munich, Bayerische Staatsbibliothek, MS Hebr. 214, fol. 81b; Londres, British Library, MS OR. 9861, fol. 25a. Ces deux copies transmettent le même texte du passage, légèrement résumé par rapport à l'arabe et au latin.Google Scholar

27 Munich, MS 214, fol. 27a.Google Scholar

28 Steinschneider, M., “Zur Geschichte der Übersetzungen aus dem Indischen in's Arabische und ihres Einflusses auf die arabische Literatur,” Zeitschrift der deutschen morgenländischen Gesellschaft, 24 (1870): 325–92Google Scholar; cf. la longue note 31, pp. 367–9, consacrée aux nombres amiables.Google Scholar

29 Brockelmann, C., Geschichte der arabischen Litteratur, Erster Band, Zweite Auflage (Leiden, 1943), p. 641; etGoogle ScholarErster Supplementband (Leiden, 1937), p. 889.Google Scholar

30 Vallicrosa, J. M. Millás, Assaig d'historia de les idees fisiques i matematiques a la Catalanya medieval (Barcelona, 1931), pp. 75–80.Google ScholarKennedy, E.S., “The equatorium of Abū al-Salt,” Physis, 12 (1970): 73–81.Google ScholarSamsó, J., Las ciencias de los antiguos en al-Andalus (Madrid, 1992), pp. 310 sq.Google Scholar

31 Steinschneider, M., “Abu's-'Salt (gest. 1134) und seine Simplicia, ein Beitrag zur Heilmittelehre der Araber,” Archiv für pathologische Anatomie und Physiologie und für klinische Medicin, 94 (1883): 28–50.Google Scholar

32 González-Palencia, A., Rectificacion de la mente. Tratado Abusalt de Denia. Texto árabe, traduccíon y estudio previo (Madrid, 1915).Google Scholar

33 Avenary, H., “Abū'l-Ṣalt's Treatise on music,” Musica Disciplina, 6 (1952): 27–32Google Scholar; id. “The Hebrew version of Abū al-Salt's Treatise on music,” Yuval, 3 (1974): 7–82 (édition, traduction anglaise et commentaire du texte hébreu); le texte hébreu est aussi éditéGoogle Scholar; dans, : Adler, I., Hebrew Writings concerning Music in Manuscripts and Printed Books from Geonic Times up to 1800, dans Répertoire international des sources musicales, Série B, IX, 2 (München, 1975), pp. 9–35.Google ScholarLangermann, T. a, pour la première fois, rapproché le texte sur la musique et celui sur l'arithmétique, et suggéré qu'on avait là deux extraits de la partie mathématique de ce qui a dû être une encyclopédie des sciences: “Un nouvel extrait de l'ouvrage d'Abū al-Salt, en version hébraïque” (en hébreu), Qiryat Sefer, 58 (1983): 623–4. T. Langermann nous paraît se tromper quand il lit (5)195 (=1435) au heu de (5)135 (= 1395) comme date de la traduction du commentaire arithmétique.Google Scholar

34 Les sources arabes anciennes ne mentionnent pas d'ouvrage de ce type, mais s'accordent pour attribuer à Abu al-Salt un écrit sur la musique, et un ouvrage de géométrie, Kitāb fi al-handasa (Uṣaybi'a, Ibn Abî, ‘Uyūn al-anbā' fi tabaqàt al-attibâ' [Beyrouth, 1979], vol. III, p. 86), qualifié parfois d“'abrégé,“ wagīzGoogle Scholar(Ḥaˇˇī, Halīfa, Kašf al-Ẓunūn 'an asāmī al-kutub wa-al-funūn, éd. Flügel, G., vol. VI [London, 1852], p. 430). Toutefois, les textes hébreux dont nous disposons indiquent bien une classification des parties consacrées à l'arithmétique et à la musique dans un ensemble, quiserait lui-même la partie mathématique d'un ouvrage plus vaste (peut-être inachevé) dont nous ne savons rien de plus. C'est ainsi que le texte sur la musique s'ouvre sur ces mots: “La quatrième discipline de la deuxième partie: la science de la musique (…). Nous achevons ici ce qui a été précédemment exposé des disciplines mathématiques, avec la science de la musique“Google Scholar; (Avenary, , “The Hebrew version,“ p. 17); et on y trouve un renvoi à la partie arithmétique avec ces mots: “Voici les règles préliminaires [d'opérations sur les intervalles musicaux] qu'il est nécessaire de présenter, bien que tu en aies acquis précédemment les connaissances de base dans la discipline arithmétique …“Google Scholar; (Ibid., p. 25). De fait, le texte arithmétique dont nous disposonss'achève sur ces mots: “… et après cela, vient la partie sur la musique.

35 Cette transition est absente du texte arabe d'Avicenne: Sīnā, Ibn, Al-Ḥisāb, éd. Mazhar, A. Lutfi (Le Caire, 1975), p. 28, 1. 15.Google Scholar

36 Considérés dans l'ordre croissant, à partir de deux. Les nombres pairement-pairs sont ici les puissances entières de 2.C'est la définition nicomquienne, laquelle n'est pas identique à celle qu'énonce Euclide (Éléments, VII Déf. 8), pour qui un nombre pairement-pair est le produit de deux nombres pairs quelconques.Google Scholar

37 Oxford, MS 2774, fol. 50a. L'édition du texte hébreu figure dans l'appendice I. (Précisons les symboles utilisés dans l'édition des textes hébreux: les parenthèses ( ) signalent une suppression que nous proposons, les crochets droits [] la lecture que nous en donnons, les parenthèses angulaires < > entourent une addition que nous introduisons, les doubles barres obliques // signalent le nouveau folio, enfin les lettres ou groupes de lettres désignant des nombres ont été soulignés). À part les quelques mots mentionnés ci-dessus (n. 35), le texte hébreu suit fidèlement le texte arabe: il en est partiquement un calque. La formulation mathématique de l'algorihme n'est pas la même que celle du théorème de Ṯābit (que nous traduisons plus loin). Toutefois, comme le fait remarquer justement Rashed, R. (“Nomberes amiables,” p. 116, n. 30a), sous réserve d'adjoindre une conditon, l'énoncé est arithmétiquement équivalent à celui de Ṯénoncé avicennien peut être reformulé ainsi: soit S = 1 + 2 + 4 + …+ 2n, A = S + 2n, B = S - 2n-1; si A et B sont l'un et l'autre premiers, alors A. B. 2n est un nombre ayant un homologue amiable, lequel est obtenu en ajoutant à ce dernier, le nombre (A + B). 2n, autrement dit, c'est le nombre (A + B + A. B). 2n. Le texte arabe d'Avicenne (ainsi que la version hébraïque) omet la condition nécessaire: A + B + A. B doit êter premier; de surcroît, il néest pa nécessaire de poser que S est premier.+entourent+une+addition+que+nous+introduisons,+les+doubles+barres+obliques+//+signalent+le+nouveau+folio,+enfin+les+lettres+ou+groupes+de+lettres+désignant+des+nombres+ont+été+soulignés).+À+part+les+quelques+mots+mentionnés+ci-dessus+(n.+35),+le+texte+hébreu+suit+fidèlement+le+texte+arabe:+il+en+est+partiquement+un+calque.+La+formulation+mathématique+de+l'algorihme+n'est+pas+la+même+que+celle+du+théorème+de+Ṯābit+(que+nous+traduisons+plus+loin).+Toutefois,+comme+le+fait+remarquer+justement+Rashed,+R.+(“Nomberes+amiables,”+p.+116,+n.+30a),+sous+réserve+d'adjoindre+une+conditon,+l'énoncé+est+arithmétiquement+équivalent+à+celui+de+Ṯénoncé+avicennien+peut+être+reformulé+ainsi:+soit+S+=+1+++2+++4+++…++2n,+A+=+S+++2n,+B+=+S+-+2n-1;+si+A+et+B+sont+l'un+et+l'autre+premiers,+alors+A.+B.+2n+est+un+nombre+ayant+un+homologue+amiable,+lequel+est+obtenu+en+ajoutant+à+ce+dernier,+le+nombre+(A+++B).+2n,+autrement+dit,+c'est+le+nombre+(A+++B+++A.+B).+2n.+Le+texte+arabe+d'Avicenne+(ainsi+que+la+version+hébraïque)+omet+la+condition+nécessaire:+A+++B+++A.+B+doit+êter+premier;+de+surcroît,+il+néest+pa+nécessaire+de+poser+que+S+est+premier.>Google Scholar

38 Oxford, MS 2774, fol. 45a, II. 8–15. Édition du texte hébreu dans l'appendice I.Google Scholar

39 Rashed, , “Nombres amiables,” p. 119; id., “Matériaux pour une histoire,” p. 230.Google Scholar

40 Voir plus haut, n. 27.Google Scholar

41 Le manuscrit hébreu date du XVe siècle, l'écriture étant identifiable comme une cursive allemande; les marques de possession indiquent qu'il a appartenu à un juif d'origine espangnoleGoogle Scholar (Steinschneider, , Zur Pseudepigraphischen Literatur, p. 13). II n'est pas sans intérêt de relever que la page de garde du codex, rédigée en latin (à une date malheureusement indéterminable), founit une table de matières, intitulée De scientiis ex crabico et alia curiosa; le passage sur les nombres amiables (un seul folio) y est clairement annoncé: De numeris amicabilib[us] regula..Google Scholar

42 Munich, Bayerische Staatsbibliothek, MS Hebr. 225, fol. 91a; pour la description du codex, qui regroupe d'autre part plusieurs traductions en hébreu d'ouvrages du célèbre mathématicien arabe Abū Kāmil, voir Steinschneider, M., Die Hebräischen Handschriften der K. Hof- und Staatsbibliothek in München (München, 1875), p. 79. Ces traductions d'Abū Kāmil étant l'œuvre du savant-traducteur juif de Mantoue, Mordekhai Finzi (m. 1475), Steinschneider a suggéré que le compendium pouvait aussi être du même auteur.Google Scholar

43 Voir, plus haut, n. 4 Relevons toutefois l'hésitation du copiste sur le terme hébreu désignant l'adjectif “amiables,” qu'il reproduit au début du passage sous sa forme classique, ne'ehavim, puis, à la fin, sous la frome nehbarim, “associés.”Google Scholar;

44 II arrive à l'auteur de reformuler ou de prolonger des énoncés issus de l'un ou l'autre de ces deux ouvrages.Google Scholar

45 Steinschneider, , “Das Königsbuch,” pp. 121–2.Google Scholar

46 Renan, E., Les ´crivains juifs français du XIVe siècle (Paris, 1893), pp. 71–114 [= Histoire littéraire de la France, t. XXXI, pp. 417–60].Google Scholar

47 Yishaq b. Ya'aco de Laḍes, Ša'arey Siyyon, éd. Buber, S. (Jaroslaw, 1885), vol. I, p. 47.Google Scholar

48 Selon une autre source manuscrite du livre d'Isaac de Lattes, citée par Neubauer, A.: “Documents inédits X. Variantes importantes de la préface du Ša'arey Siyyon d'Isaac de Lattes,” Revue des études juives, 9 (1884): 265.Google Scholar

49 Ainsi, la référence à la terminologie des trois sections coniques (fol. 52a: “…les sections du cône circulaire sont au nombre de trois, la parabole [ha-maspiq], l'hyperbole [ha-nosaf], l'ellipse [ha-haser], comme cela été établi dans le premier livre d'Apollonius sur les coniques [harutim]”), référence assez rare dans la littérature mathématique en hébreu, recoupe celles que nous avons pu relever dans d'autres textes ou traductions explicitement attribués à Qalonymos. On peut citer aussi les références aux polyèdres réguliers et au Livre XIII des Éléments (fol. 53a), ou la brève discussion sur le statue des prémisses dans le Livree X des Éléments (fol. 57a). Enfin l'analyses des auteurs et textes explicitement cités dans la premiére partie, que nous ne développons pas ici, va dans le sens de cette identifcation. Dans la suite de cet article, par commodité, nous désignerons désormais Qalonymos comme l'auteure de texte.Google Scholar

50 Steinschneider, M., “Robert von Anjou und die jüdische Literatur. Kalonymosund Averroës,” Vierteljahrsschrift für Kultur und Literatur der Renaissance, II (1887): 110–14; id.Google Scholar, “Robert von Anjou und sein Verhältnis zu einigen gelehrten Juden,” Monatsschrift für die Geschichte und Wissenschaften des Judentums, 48 (1904): 713–17. C'est ainsi que Qalonymos est l'auteur d'une traduction de l'arabe en latin du Tahāfut al-TahĀfut (Destructio destructionis) d'Averroès, achevée en Arles en 1328Google Scholar (Ibid., p. 715).

51 Nous savons que Qalonymos a séjourné à Rome, sans doute entre 1319 et 1321, au service du roi Robert, pour lequel il a effectué des traductions (Roth, C., The History of the Jews of ltaly [Philadelphia, 1946], pp. 96 et 146). Il semble avoir poursuivi ce travail longtemps après son retour en Provence: nous avons cité sa traduction latine de l'ouvrage d'Averroès, en 1328, cette date étant jusque-là considérée comme la dernière trace connue de l'activité de Qalonymos. Or, les registres angevins, conservés aux archives de Naples, indiquent, en date du 22 juin 1329, que Qalonymos était encore rémunéré en Arles, pour ses tâches de traducteur au service du roi RobertGoogle Scholar(Caggese, R., Roberto d'Angio e i suoi tempi [Firenze, 1930], vol. II, p. 371, n. 3).Google Scholar

52 Steinschneider, “R. von Anjou und die jüdische Literatur,“ p. 111: “… vielleicht sollte eine lateinische Übersetzung folgen?“. Nous ne sommes pas en mesure de répondre à cette question.Google Scholar

53 Pour notre édition du texte hébreu, on se reportera à l'appendice II. La numérotation est de notre fait. Les (rares) corrections et compléments que nous avons insérés dans le texte hébreu sont intégrés à la traduction, sans y être signalés. Notre sélection des propositions s'est faite en fonction du texte arabe original de Tābit b. Qurra. Pour ce texte, nous avons consulté la copie transmise par le MS Arabe 2457 de la Bibliothèque nationale (Paris), fols. 170b–180b. F. Woepcke, au siècle dernier, a traduit l'introduction et les énoncés des dix propositions qui composent le traité: “Notice sur une théorie ajoutée par Thābit ben Korrah à l'arithmétique spéculative des grecs,“ Journal Asiatique, 4e série, Tome 20 (1852): 420–9.Google Scholar

54 Munich, MS 290, fols. 58a–60a.Google Scholar

55 “Tout nombre plan dont les côtés sont deux nombres premiers n'est mesuré par aucun nombre, à part ces deux-là.“Google Scholar;

56 “Si des nombres se suivent selon un rapport double, quelle que soit la quantité des termes, le plus grand de ces nombres dépasse la somme des nombres restants d'une quantité égale au plus petit d'entre eux; et il en est ainsi lorsque le plus petit des nombres est l'unité.”Google Scholar;

57 En marge de la proposition 36, nous trouvons un tableau résumant le calcul des cinq premiers nombres parfaits: 6, 28, 496, 8128, 130 816. Or, nous savons que Nicomaque ne donne que les quatre premiers nombres cités (effectivement parfaits); d'autre part, le cinquième nombre cité [130 816 = 28 (29 − 1)] n'est pas parfait, puisque (29 - 1) = 511 n'est pas premier; cette erreur, qui n'est pas fortuite, se rencontre chez des auteurs néo-pythagoriciens arabes. Sur cette question, voir: Brentjes, S., “Die ersten sieben vollkommenen Zahlen und drei arten befreundeter Zahlen in einem Werk zur elementaren Zahlentheorie von Ismā'il b. Ibrāhīm b. Fallūs,”, NTM-Schriftenreihe für Geshichte der Naturwissenschaften, Technik und Medizin, 24 (1987): 21–30Google Scholar; Rashed, , “Ibn al-Haytham,” pp. 349–50.Google Scholar

58 Les propositions 7 et 8 de Ṯābit peuvent s'écrire:

et

La proposition 38 de notre texte:

d'où l'on tire

59 Le Caire, MS 40m, fol. 34b. La quatrième et dernière section de la partie consacrée au nombre (“la première espèce du premier genre“) comporte 13 propositions; les propositions 4–13 reproduisent le texte de ṯābit sur les nombres amiables, avec cette différence que nous venons de signaler.Google Scholar

60 Ainsi, les deux textes énoncent en une seule proposition, et exactement dans les mêmes termes, les deux propositions IX, 12 et JX, 13 des Éléments. Dans aucune des versions arabes ou hébraïques des éléments que nous connaissons, nous n'avons relevé cette particularité.Google Scholar

61 On s'en rendra compte en se reportant à la traduction française: Woepcke, , “Notice sur une théorie,“ pp. 428–9. Pour le texte arabe: Paris, BN, MS Arabe 2457, fols. 178b–179a.Google Scholar

62 Le Caire, MS 40m, fols. 35b–36a.Google Scholar

63 Si l'on se rappelle que ṯābit considère les six premiers termes de la série des puissances de 2 (commençant par l'unité) en les désignant par les lettres A B G D E W, on peut vérifier que la procédure énoncée par Qalonymos reproduit fidèlement celle de ṯābit, même si, en supprimant l'usage des lettres, Qalonymos a été conduit à transformer certaines formulations, afin de les rendre intelligibles. Ainsi, si l'on reformulait les étapes indiquées par Qalonymos en utilisant les lettres figurant dans le texte de ṯābit, on obtiendrait bien l'algorithme suivant: Z = A+B+G+D+E, H = Z + E, T = Z - D; alors, L = E. H. T est un des deux nombres recherchés, à condition que H et T soient deux nombres premiers différents de 2. Soient ensuite M = W+ G, N = M.W, S = N-l; alors O = E. S est le deuxième nombre recherché, à condition que S soit premier. Rappelons que le théorème de ṯābit, formulé en termes modernes, peut s'énoncer: dans les conditions susmentionnées, L = E.H.T et O = E.S sont deux nombres amiables, avec E = 2n, H = 3.2n - 1, T = 3.2n-1-1, S = 9.22n-1-1.Google Scholar

64 Profiat Duran, au début du XVe siècle, cite Abū al-Ṯalt, à propos de musique, dans des termes qui ne recouvrent pas exactement le texte sur la musique, tel qu'il nous est connu en hébreu (Avenary, , “The Hebrew version,” pp. 8–9). Un commentateur du Canon d'Avicenne, Išaiah. b. Isaac b. Nathan de Cordoue, au milieu du XIVe siècle, reproduit très larement le traité d'Abū al-Salt sur la musique, sans citer l'auteurGoogle Scholar (Ibid. pp. 9–10). Dans des notes anonymes, contenues dans le manuscrit Munich, Hebr. 290, celui-là même qui nous transmet l'une concernant une question d'optique (fol.45b. 1. 28), l'autre une question d'astronomie (fol. 48b, 1. 2). Profiat Duran, toujours lui, commentant l'abrégé de l'Almageste d'Averroès, cite deux fois Abū al-Salt (Paris, BN, MS Heb. 1026, fols. 10a et 12b); je dois cette dernière référence à Mme Juliane Lay. éditrice et traductrice de la version hébriaïque du texte (perdu en arabe) d'Averroès, et je l'en remerice. Enfin, nous avons relevé dans le commentaire de l'Almareste dî à Samuel de Marseille (voir n.13), de nombreuses références à Abū al-Salt, dont le nom est cité à côté de ceux de Ṯābit, Ğābir. b. Aflah, Ibn Mu'ād, Averroès (Vatican, MS Ebr. 398, fols. 94b, 99b, 102a, 102b). L'analyse détaillée de ces références permettrait, du reste, de préciser plusieurs aspects de ce qu'a du; ětre la composition de l'ouverage d'Abū al-Ṣalt.

65 C'est aussi à Saragosse, rappelons-le, qu'a régné et travaillé, trois siècles plus tot, l'auteur du Kitāb al-Istikmāl, le roi-savant al-Mu'taman.Google Scholar