Hostname: page-component-586b7cd67f-tf8b9 Total loading time: 0 Render date: 2024-11-23T20:37:04.289Z Has data issue: false hasContentIssue false
  • English
  • Français

LE COMMENTAIRE D'IBN MUʿĀḎ SUR LE CONCEPT DE RAPPORT

Published online by Cambridge University Press:  24 July 2013

Bijan Vahabzadeh
Bijan Vahabzadeh*
Affiliation:
Université Paris Diderot, Sorbonne Paris Cité, Sphere, UMR 7219, CNRS, 5 rue Thomas Mann, Bâtiment Condorcet, Case 7093, F-75205 Paris Cedex 13, France
*
Email: [email protected]
Get access Rights & Permissions [Opens in a new window]

Abstract

The Andalusian mathematician and astronomer Ibn Muʿāḏ al-Jayyānī (11th century) is the author of an important commentary on the concept of ratio, in which he attempts to justify the Euclidean definition of proportionality between magnitudes – the celebrated Definition V.5 – and that of greater ratio. In addition to an analysis of the commentary, we provide a French translation and a critical edition of the original Arabic text. We also attempted to settle some problems linked to the biography of Ibn Muʿāḏ.

Résumé

Le mathématicien et astronome andalou Ibn Muʿāḏ al-Jayyānī (XIe siècle) est l'auteur d'un important commentaire sur le concept de rapport, dans lequel il se propose de justifier la définition euclidienne de la proportionnalité entre grandeurs – la célèbre Définition V.5 – et celle du rapport plus grand. Nous donnons, en plus d'une analyse de ce commentaire, une traduction française et une édition critique du texte original arabe. Nous avons également tenté de faire le point sur certains détails liés à la biographie d'Ibn Muʿāḏ.

Type
Research Article
Information
Arabic Sciences and Philosophy , Volume 23 , Issue 2 , September 2013 , pp. 221 - 276
Copyright
Copyright © Cambridge University Press 2013 

Access options

Get access to the full version of this content by using one of the access options below. (Log in options will check for institutional or personal access. Content may require purchase if you do not have access.)

Footnotes

À la mémoire d'Hélène Bellosta.

References

* Nous voudrions remercier le Professeur Roshdi Rashed, ainsi que les lecteurs anonymes de cet article, pour leurs suggestions et corrections.

1 D'après la notice du Catalogue des manuscrits hébreux de 1866, qui reprend ici sans changement la notice de S. Munk (MS Héb. 1299), l'auteur de ces traités est “le vézir et cadi Abou-ʿAbd-Allah Moḥammed-Ibn-Moʿâd, de Séville” (Zotenberg, H., Munk, S., Derenbourg et Ad. Franck, Catalogues des manuscrits hébreux et samaritains de la Bibliothèque impériale [Paris, 1866]Google Scholar, p. 189, no 1036, 1°). Or l'examen du manuscrit montre que la mention “de Séville” ne s'y trouve pas (voir les fols. 1r, l.1 et 7r, l.3); cette mention semble donc être une inférence de Munk, probablement due au fait qu'Ibn Muʿāḏ se réfère dans son traité sur l'éclipse de soleil à des observations astronomiques faites à Séville même. (Nous voudrions remercier Tony Lévy pour nous avoir fourni ces informations.)

2 Plus précisément, en plus du titre proprement dit – “Livre des inconnues des arcs de la sphère par le cadi Abū ʿAbd Allāh Muḥammad Ibn Muʿāḏ” – figure la notice suivante, ajoutée semble-t-il de la même main: “Le cadi Abū ʿAbd Allāh Muḥammad Ibn Muʿāḏ al-Šaʿbānī (que Dieu le Très-Haut le bénisse et soit satisfait de lui) a composé ce livre sur la figure sécante” (voir Villuendas, M.V., La trigonometría europea en el siglo XI. Estudio de la obra de Ibn Muʿāḏ El Kitāb may^hūlāt [Barcelone, 1979], pp. XXXI–XXXIIGoogle Scholar, p. 3 et le fol. 1b du facsimile). Dans son Catalogue des manuscrits de l'Escurial, M. Casiri avait mentionné comme auteur de ce traité “Abdalla Mohamad Ben Moad Cordubensi” (Bibliotheca arabico-hispana escurialensis [Madrid, 1760]Google Scholar, t. I, p. 382). Mais l'examen du manuscrit montre que la mention de l'origine cordouane n'y figure pas; elle n'avait d'ailleurs pas été reprise par les auteurs du nouveau Catalogue (voir Derenbourg, H. et Renaud, H.-P.-J., Les manuscrits arabes de l'Escurial, t. II, fasc. 3 [Paris, 1941], p. 94)Google Scholar; cette mention doit donc être un ajout de Casiri.

3 Voir son article “Ṣāʿid, the Toledan Tables, and Andalusī science,” dans King, D.A. & Saliba, G. (éds.), From Deferent to Equant: A Volume of Studies in the History of Science in the Ancient and Medieval Near East in Honor of E.S. Kennedy (New York, 1987) pp. 373–401, p. 381Google Scholar.

4 Ibn Baškuwāl, , Kitāb al-Ṣila, 2 vols. (Le Caire, 1966), vol. 2, p. 558, no 1226Google Scholar.

5 Al-Ḍabbī, , Buġyat al-multamis fī taʾrīḫ rijāl ahl al-Andalus (Le Caire-Beyrouth, 1989)Google Scholar, p. 81, no 48.

6 Il s'agit du commentaire à 1023b22: “l'angle est aussi une partie” (Aristote, Métaphysique, traduction et notes par Tricot, J., t. I [Paris, 2000], p. 214)Google Scholar.

7 Averroès, , Tafsir ma baʿd at-tabiʿat, texte arabe inédit établi par Bouyges, Maurice, S.J., vol. II, 2e éd. (Beyrouth, 1967), p. 665Google Scholar. C'est en effet ce qu'affirme notre auteur dans son Commentaire sur le rapport, fols. 74v–75r & 81v (voir infra la traduction et édition du texte).

8 Pour plus de détails sur la vie et l'œuvre d'Ibn Muʿāḏ, voir Hermelink, H., “Tabulae Jahen,” Archive for History of Exact Sciences, 2 (1964): 108–12Google Scholar; Dold-Samplonius, Y. & Hermelink, H., “Al-Jayyānī,” dans Gillispie, C.C. (éd.), Dictionary of Scientific Biography, vol. 7 (New York, 1973), pp. 82–3Google Scholar; Goldstein, B.R., “Ibn Muʿādh's Treatise On Twilight and the Height of the Atmosphere,” Archive for History of Exact Sciences, 17 (1977): 97–118CrossRefGoogle Scholar; Villuendas, La trigonometría europea en el siglo XI, pp. XXII–XXXVI; Smith, A.M., “The Latin version of Ibn Muʿādh's treatise ‘On Twilight and the Rising of Clouds’,” Arabic Sciences and Philosophy, 2 (1992): 83–132Google Scholar; Kennedy, E.S., “Ibn Muʿādh on the astrological houses,” Zeitschrift für Geschichte der arabisch-islamischen Wissenschaften, 9 (1994): 153–60Google Scholar; Hogendijk, J.P., “Applied mathematics in eleventh century al-Andalus: Ibn Muʿādh al-Jayyānī and his computation of astrological houses and aspects,” Centaurus, 47, 2 (2005): 87–114CrossRefGoogle Scholar; Calvo, E. & Casulleras, J., “Ibn Muʿāḏ al-Ŷayyānī, Muḥammad,” dans Delgado, J. Lirola (éd.), Biblioteca de al-Andalus, vol. 4 (Almería, 2006): 197–201Google Scholar; Samsó, J., Las Ciencias de los Antiguos en al-Andalus, 2e éd. avec addenda et corrigenda de Samsó, J. et Forcada, M. (Almería, 2011), pp. 137–44, 152–66, 241–4, 484–6, 495Google Scholar.

9 Voir Euclid's Conception of Ratio and his Definition of Proportional Magnitudes as criticized by Arabian Commentators (Rotterdam, 1950), pp. 15–47Google Scholar, 62–5 & 68–9. – Rappelons ici que cet ouvrage pionnier, consacré aux commentaires arabes sur la théorie euclidienne des proportions, a été pendant près de cinquante ans la référence sur le sujet.

10 Voir Trois commentaires arabes sur les concepts de rapport & de proportionnalité, thèse de doctorat écrite sous la direction du Professeur Roshdi Rashed, Université Paris 7-Denis Diderot, 1998, vol. 1, pp. 61–84 & 109–12, et vol. 2, pp. 65–89 (thèse inédite).

11 Les différents genres de grandeurs traités dans les Éléments sont la ligne, la surface, le solide et l'angle rectiligne.

12 d'Alexandrie, Euclide, Les Éléments, Traduits du texte de Heiberg, Introduction générale par Maurice Caveing, Traduction et commentaires par Bernard Vitrac, 4 vols. (Paris, 1990–2001), vol. II, pp. 36 & 41Google Scholar. Nous rappelons également la définition connexe du rapport plus grand: “7. Et quand parmi les équimultiples, d'une part le multiple de la première dépasse le multiple de la deuxième et que d'autre part le multiple de la troisième ne dépasse pas le multiple de la quatrième, alors la première [grandeur] est dite avoir un plus grand rapport relativement à la deuxième que celui de la troisième relativement à la quatrième” (ibid., p. 46).

13 À savoir: “Des nombres sont en proportion quand le premier, du deuxième, et le troisième, du quatrième, sont équimultiples, ou la même partie, ou les mêmes parties” (ibid., p. 262).

14 Ibid., pp. 539–43, et Vitrac, B., “La Définition V. 8 des Eléments d'Euclide,” Centaurus, 38 (1996): 97–121Google Scholar, pp. 114–15.

15 Plus précisément il s'agit, pour chaque Définition, de démontrer que le definiendum implique le definiens, et vice versa. – Pour plus de détails sur ce commentaire, voir De Young, G., “Al-Jawharī's Additions to Book V of Euclid's Elements,” Zeitschrift für Geschichte der arabisch-islamischen Wissenschaften, 11 (1997): 153–78Google Scholar. Voir également A.I. Sabra, “Al-Jawharī,” dans Gillispie (éd.), Dictionary of Scientific Biography, vol. 7, pp. 79–80.

16 Il s'agit de la procédure qui permet de déterminer le PGCD de deux nombres et la plus grande commune mesure de deux grandeurs commensurables (voir les Propositions VII.1–2 et X.3 des Éléments).

17 Voir Plooij, Euclid's Conception of Ratio, pp. 50–1 et 61; Dold-Samplonius, , “Al-Māhānī,” dans C.C. Gillispie (éd.), Dictionary of Scientific Biography, vol. 9 (New York, 1974), pp. 21–2Google Scholar; Vitrac, B., “ʿUmar al-Khayyām et l'anthyphérèse: Étude du deuxième Livre de son commentaire Sur certaines prémisses problématiques du livre d'Euclide,” Farhang, vol. 14 (2002): 137–92Google Scholar, III. 3–7 & IV. C.11, pp. 154–7 & p. 174; Hogendijk, J.P., “Anthyphairetic ratio theory in medieval Islamic mathematics,” dans Dold-Samplonius, Y., Dauben, J.W., Folkerts, M., Van Dalen, B. (éds.), From China to Paris: 2000 Years Transmission of Mathematical Ideas, Boethius, Band 46 (Stuttgart, 2002), pp. 187–202Google Scholar; Vahabzadeh, B., “Al-Māhānī's Commentary on the concept of ratio,” Arabic Sciences and Philosophy, 12 (2002): 9–52Google Scholar.

18 Voir Codex Leidensis 399, 1., Euclidis Elementa ex Interpretatione al-Hadschdschadschii cum Commentariis Al-Narizii, éd., tr. latine et notices par Junge, G., Raeder, J. et Thomson, W., Part. III Fasc. II (Hauniae, 1932), pp. 6–13 et 16–17Google Scholar; Plooij, Euclid's Conception of Ratio, pp. 51–3 et 61; Sabra, , “Al-Nayrīzī,” dans Gillispie, C.C. (éd.), Dictionary of Scientific Biography, vol. 10 (New York, 1974), pp. 5–7Google Scholar; Hogendijk, “Anthyphairetic ratio theory,” pp. 195–7.

19 Au sens de la Définition V.13 des Éléments.

20 Voir Murdoch, J.E., “The medieval language of proportions: Elements of the interaction with Greek foundations and the development of new mathematical techniques,” dans Crombie, A.C. (éd.), Scientific Change (London, 1963), pp. 252–3Google Scholar; Schrader, D.V., “Aḥmad Ibn Yūsuf,” dans Gillispie, C.C. (ed.), Dictionary of Scientific Biography, vol. 1 (New York, 1970), pp. 82–3Google Scholar; Grant, E. (éd.), A Source Book in Medieval Science (Cambridge, Massachusetts, 1974), pp. 149–50Google Scholar.

21 Il s'agit ici d'une partie au sens général, c'est-à-dire d'une partie aliquote ou aliquante.

22 Voir Plooij, Euclid's Conception of Ratio, pp. 53–4 & 61–2; B. Hooper Sude, Ibn al-Haitham's Commentary on the Premises of Euclid's Elements (Sharḥ muṣādarāt kitāb Uqlīdis fī al-uṣūl) Books I-VI, thèse de doctorat, Université de Princeton, 1974, vol. 1, pp. 188–204, 209–16, et vol. 2 (texte arabe), pp. 107–20 (thèse inédite).

23 Voir Plooij, Euclid's Conception of Ratio, pp. 54–6 & 62; Youschkevitch, A.P., Les mathématiques arabes (VIIIe-XVe siècles) (Paris, 1976), pp. 84–9 & 130Google Scholar; Vahabzadeh, , “Al-Khayyām's conception of ratio and proportionality,” Arabic Sciences and Philosophy, 7 (1997): 247–63Google Scholar; Rashed, R. et Vahabzadeh, B., Al-Khayyām mathématicien (Paris, 1999), pp. 340–83Google Scholar; Vitrac, , “ʿUmar al-Khayyām et Eutocius: Les antécédents grecs du troisième chapitre du commentaire Sur certaines prémisses problématiques du livre d'Euclide,” Farhang, vol. 12 (2000): 51–105Google Scholar, et “ʿUmar al-Khayyām et l'anthyphérèse” (ces deux articles de fond sont disponibles en PDF sur le lien http://publicationslist.org/bernard.vitrac); Vahabzadeh, B., “ʿUmar al-Khayyām and the concept of irrational number,” dans Morelon, R. and Hasnawi, A. (éds.), De Zénon d'Elée à Poincaré: Recueil d'études en hommage à Roshdi Rashed (Louvain-Paris, 2004), pp. 55–63Google Scholar.

24 Plooij (Euclid's Conception of Ratio, p. 68) ne connaissait lui non plus aucun commentateur de ce nom; il ajoute cependant que ce nom évoque lointainement le grec σύνοδος (synode).

25 Ṣâʿid al-Andalusî, , Kitâb Ṭabaḳât Al-Umam (Livre des Catégories des Nations), Traduction avec Notes et Indices précédée d'une Introduction par Régis Blachère (Paris, 1935), pp. 73, 104, 112–14 et 116Google Scholar.

26 Voir “Ṣâʿid,” p. 382.

27 Voir Sezgin, F., Geschichte des arabischen Schrifttums, vol. V (Leiden, 1974), p. 356Google Scholar, et Ṣâʿid al-Andalusî, Kitâb Ṭabaḳât Al-Umam, pp. 130–1.

28 Rashed, Voir, Les mathématiques infinitésimales du IXe au XIe siècle, vol. I (Londres, 1996), pp. 885–6, 891–928Google Scholar (commentaire mathématique) et 929–73 (traduction française du fragment hébreux par T. Lévy).

29 Voir par exemple Samsó, Las Ciencias, p. 138.

30 Voir Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī, , Œuvres mathématiques, Algèbre et géométrie au XIIe siècle, Texte établi et traduit par Roshdi Rashed, 2 tomes (Paris, 1986)Google Scholar, t. I, p. 129; voir également Rashed, Les mathématiques infinitésimales du IX eau XI esiècle, vol. I, pp. 976–8.

31 Voir Hogendijk, J.P., “Discovery of an 11th-century geometrical compilation: The Istikmāl of Yūsuf al-Muʾtaman ibn Hūd, King of Saragossa,” Historia Mathematica, 13 (1986): 43–52Google Scholar; Rashed, Les mathématiques infinitésimales du IXe au XIe siècle, vol. I, pp. 975–1027 et vol. IV (Londres, 2002), pp. 843–99Google Scholar; M. Al-Houjairi, L'Encyclopédie mathématique d'Ibn Hūd: les commentaires d'Ibn Hūd de Saragosse (XI esiècle) des Sphériques de Théodose et de Ménélaüs, thèse de doctorat écrite sous la direction de Roshdi Rashed, Université Paris 7, 2005.

32 Hogendijk, J.P., “The geometrical parts of the Istikmāl of Yūsuf al-Mu'taman ibn Hūd (11th Century): An analytical table of contents,” Archives internationales d'histoire des sciences, 41 (1991): 207–81, pp. 230–2Google Scholar.

33 Demande I.5 (Euclide d'Alexandrie, Les Éléments, vol. I, p. 175): “Et que, si une droite tombant sur deux droites fait les angles intérieurs et du même côté plus petits que deux droits, les deux droites, indéfiniment prolongées, se rencontrent du côté où sont les angles plus petits que deux droits.”

34 Ibid., p. 179: “Et deux droites ne contiennent pas une aire.”

35 Cf. la Définition I.17 (ibid., p. 163): “Et un diamètre du cercle est n'importe quelle droite menée par le centre, limitée de chaque côté par la circonférence du cercle, laquelle coupe le cercle en deux parties égales.”

36 Commentaire sur le rapport, fol. 74v. – Les citations du commentaire d'Ibn Muʿāḏ sont tirées de la traduction française ci-dessous (Appendice I); le début d'un folio y est indiqué entre crochets droits [ ].

37 Commentaire sur le rapport, fols. 74v–75r. Cf. la remarque d'Averroès citée en introduction, ainsi que la note 11 ci-dessus.

38 Cf. les Définitions V.1–2 des Éléments (vol. II, p. 35): “1. Une grandeur est une partie d'une grandeur, la plus petite de la plus grande, quand elle mesure la plus grande. 2. Et multiple, la plus grande de la plus petite, quand elle est mesurée par la plus petite.” Rappelons que dans ce contexte, il s'agit toujours d'une mesure exacte, sans reste. – Les énoncés d'Ibn Muʿāḏ ne sont pas des citations proprement dites des définitions du Livre V, mais plutôt des paraphrases; du moins elles ne correspondent à aucune des versions arabes des Éléments que nous avons consultées (voir J.W. Engroff, Jr., The Arabic Tradition of Euclid's Elements: Book V, thèse de doctorat (inédite), Université de Harvard, 1980, pp. 60 et 165; Codex Leidensis 399, 1., Part. III, Fasc. II, p. 2 et passim; et St-Pétersbourg, MS Or. C 2145, fol. 77v).

39 Cf. la Définition X.1 (vol. III, p. 25): “Sont dites grandeurs commensurables celles qui sont mesurées par la même mesure, et incommensurables, celles dont aucune commune mesure ne peut être produite.”

40 Commentaire sur le rapport, fol. 75r. Cf. la Définition V.3 (ibid., p. 36): “Un rapport est la relation, telle ou telle, selon la taille, [qu'il y a] entre deux grandeurs du même genre.” Sur la définition de la proportion – “Une proportion est la similitude des rapports” –, considérée de nos jours comme une interpolation, voir ibid., p. 47, et Vitrac, B., “La Définition V.8 des Eléments d'Euclide,” Centaurus, 38 (1996): 97–121Google Scholar.

41 Notion commune I.8 dans le cadre des Éléments.

42 Dans le cas particulier des nombres, qu'Ibn Muʿāḏ considère comme un genre de la grandeur, cela découle directement des Définitions VII.3–4 des Éléments (vol. II, p. 251): “3. Un nombre est une partie d'un nombre, le plus petit du plus grand, quand il mesure le plus grand. 4. Et des parties, quand il ne le mesure pas.” Ainsi l'on dira par exemple que 2 est une partie de 8, à savoir le quart; et que 4 est des parties de 6, à savoir les deux-tiers; mais l'on ne dira pas dans le contexte des Éléments que 8 est des parties de 2, ni que 6 est des parties de 4. (C'est d'ailleurs pour les mêmes raisons que l'on a pendant longtemps appelé “impropre” une fraction dont le numérateur était plus grand ou égal au dénominateur.)

43 Commentaire sur le rapport, fol. 75r-v.

44 Il est possible qu'Ibn Muʿāḏ ait cherché ici à reprendre dans le cas des grandeurs commensurables le texte même de la définition euclidienne de la proportion entre nombres; en effet sa définition correspond de très près à l'une des versions arabes de la Définition VII.21 (St-Pétersbourg, MS Or. C 2145, fol. 217r): “Et les nombres proportionnels sont ceux qui sont tels, qu'il y a dans le premier d'entre eux, du multiple du deuxième, comme ce qu'il y a dans le troisième, du [même] multiple du quatrième; ou qu'il y a dans le premier, des parties du deuxième, comme ce qu'il y a dans le troisième, des [mêmes] parties du quatrième.” Cependant ce manuscrit ne correspond en cet endroit à aucun des dix autres utilisés par G.R. De Young dans son édition critique des Livres VII–IX des Éléments (voir The Arithmetic Books of Euclid's Elements in the Arabic Tradition: An Edition, Translation, and Commentary, thèse de doctorat (inédite), Université de Harvard, Cambridge, Massachusetts, 1981, vol. I, partie I, p. 5 et vol. I, partie II, p. 321). Il serait cependant prématuré d'affirmer quoique ce soit à ce propos en l'absence d'une édition critique des différentes versions arabes des Éléments, et sans une connaissance précise des versions disponibles en Andalousie à l'époque d'Ibn Muʿāḏ.

45 Cf. Murdoch, “The medieval langage of proportions,” p. 254, n. 4.

46 Commentaire sur le rapport, fol. 75v. On remarquera la subtilité de l'énoncé d'Ibn Muʿāḏ, qui reproduit celui de la proportion entre grandeurs commensurables – peut-être même l'énoncé euclidien de la proportion entre nombres auquel il avait accès – en ne changeant qu'un seul mot, le mot “comme”, en “plus que” ou “moins que”.

47 Commentaire sur le rapport, fols. 75v–76r. Ibn Muʿāḏ se réfère ici à une pratique courante qui remonte à l'Antiquité. Archimède, par exemple, démontre dans la troisième proposition de La mesure du cercle, que la circonférence du cercle est inférieure aux 3 1/7 et supérieure aux 3 10/71 du diamètre; de plus il remplace, dans le court de sa démonstration, le rapport irrationnel √3:1 par les rapports numériques 265:153 et 1351:780. (Voir les Œuvres d'Archimède, Tome Premier, De la sphère et du cylindre, La Mesure du cercle, Sur les conoïdes et les sphéroïdes, texte établi et traduit par Charles Mugler [Paris, 1970], pp. 135–7 & 140–3.)

48 Commentaire sur le rapport, fol. 76r-v.

49 Ibid., fol. 77r.

50 Ibid., fol. 79r.

51 Il est intéressant de noter à ce propos que sur les dix manuscrits des Éléments étudiés par Engroff, un seul, le MS Escurial 907, contient la converse de la Définition V.5 (Engroff, The Arabic Tradition of Euclid's Elements, p. 283). Cette converse suit d'ailleurs la Définition proprement dite (Escurial, MS Ar. 907, fol. 46r; cf. Engroff, ibid., pp. 165 et 169): “L'on dit à propos des grandeurs qu'elles sont dans un même rapport, la première à la deuxième et la troisième à la quatrième, quand les équimultiples de la première et de la deuxième, quelques multiples qu'ils soient, ou surpassent simultanément les équimultiples de la deuxième et de la quatrième, quelques multiples qu'ils soient, ou sont simultanément égaux à eux, ou sont simultanément inférieurs à eux, lorsqu'on les compare successivement les uns aux autres. Et par conversion: Si les grandeurs sont dans un seul [et] même rapport, [lorsqu'on les compare] successivement, les multiples de la première et de la troisième sont ou <simultanément> supérieurs aux multiples de la deuxième et de la quatrième, ou simultanément inférieurs à eux, ou simultanément égaux à eux.”

52 Ibid., fol. 79v.

53 Dans le manuscrit de l'Escurial, la définition du rapport plus grand est elle aussi suivie de sa converse (Escurial, MS Ar. 907, fol. 46r; cf. Engroff, The Arabic Tradition of Euclid's Elements, pp. 165, 169 et 285): “Et quand ces équimultiples sont tels, que d'une part le multiple de la première d'entre elles surpasse le multiple du deuxième, et que d'autre part le multiple de la troisième ne surpasse pas le multiple de la quatrième, le rapport de la première à la deuxième est plus grand que le rapport de la troisième à la quatrième. Et par conversion: Lorsque le rapport de la première à la deuxième est plus grand que le rapport de la troisième à la quatrième, ces équimultiples sont tels, que d'une part le multiple de la première d'entre elles surpasse le multiple de la deuxième, et d'autre part le multiple de la troisième ne surpasse pas le multiple de la quatrième.”

54 Peut-être “involontairement”, puisque nous venons de voir que l'une au moins des versions arabes des Éléments contenait la converse de ces Définitions.

55 Murdoch, “The medieval language of proportions,” pp. 254–5.

56 Barrow, I., The Usefulness of Mathematical Learning Explained and Demonstrated: Being Mathematical Lectures Read in the Publick Schools at the University of Cambridge (Londres, 1734) (nouvelle impression 1970), Lecture XXI, pp. 389–90Google Scholar.

57 Voir “Two commentaries on Euclid's definition of proportional magnitudes,” Arabic Sciences and Philosophy, 4 (1994): 181–98, pp. 192–8CrossRefGoogle Scholar.

58 Saunderson, N., Élémens d'Algèbre, traduits de l'anglais et augmentés de quelques remarques par M. de Joncourt, 2 vols. (Amsterdam-Leipzig, 1756), vol. 2, art. 262–3, pp. 77–84Google Scholar.

59 Rappelons que deux ouvrages d'Ibn Muʿāḏ, le Traité sur l'aurore et les Tables de Jaén, nous sont parvenus dans des traductions latines attribuées à Gérard de Crémone (voir M. Smith, “The Latin version of Ibn Mu‛ādh's Treatise,” p. 84, et Hermelink, “Tabulae Jahen,” p. 108).

60 Cette traduction a été faite d'après l'édition du texte arabe incluse dans l'Appendice II ci-après; contrairement à la démarche adoptée dans notre thèse, nous avons cherché ici à traduire le texte d'une manière aussi littérale que possible. Les crochets <> comprennent des mots que nous avons ajoutés au texte du MS, et que nous considérons comme des omissions du copiste; les crochets droits [ ] comprennent soit l'indication du début d'un folio, soit une explication destinée à faciliter la compréhension du texte. Les figures, qui sont absentes du texte, ont été reconstituées en essayant de les représenter à l'échelle. – Dans l'ensemble, notre traduction diffère peu de celle de Plooij; par exemple, il traduit le mot arabe muqaddima par “préambule” ou “introduction” [Euclid's Conception of Ratio, pp. 20, 24 & 36], alors que nous le traduisons par “prémisse”; de même il traduit qaḍiyya par “théorème” et “phrase” [pp. 22 & 38], alors que nous avons préféré “proposition”.

61 Selon la coutume musulmane, où c'est l'homme qui apporte la dot en se mariant.

62 En d'autres termes: Donnons à l'ensemble de ces choses le nom générique de grandeur.

63 Littéralement: dans le septième discours.

64 Nous pensons qu'Ibn Muʿāḏ fait ici allusion à des lignes droites qui, en tant que telles, sont de même espèce même si elles sont incommensurables. Ce n'est pas l'avis de Plooij, qui propose de remplacer le mot ka (“comme”) par le mot li (“car”), probablement par analogie avec la fin de la phrase précédente (Euclid's Conception of Ratio, pp. 20 & 67).

65 i.e. le rapport des deux grandeurs.

66 i.e. des parties de l'autre grandeur.

67 i.e. le rapport.

68 Littéralement: sur elle-même. Nous avons suivi ici la traduction de Goichon, A.-M., Lexique de la langue philosophique d'Ibn Sīnā (Avicenne) (Paris, 1938), p. 236Google Scholar.

69 Littéralement: je dis alors qu'il y a dans CD, du multiple de EF, comme ce qu'il y a dans A, du multiple de B. Nous n'avons cependant pas maintenu une traduction littérale qui aurait été dans la suite problématique et difficile à saisir.

70 Sous-entendu: plus grand.

71 Il s'agit ici d'une prémisse, comme pour la définition des grandeurs proportionnelles.

72 Le pronom personnel féminin représente la mention des parties.

73 C'est la numérotation des différentes versions arabes des Éléments (voir Engroff, The Arabic Tradition of Euclid's Elements, pp. 108 et 218; Codex Leidensis 399, 1., Part. III Fasc. II, p. 56; et St-Pétersbourg, MS Or. C 2145, f. 84r-84v). Dans l'édition de Heiberg, il s'agit de la Proposition V. 13.

74 Ibn Muʿāḏ s'en tient aux constructions à la règle et au compas, bien que la construction de l'heptagone régulier à l'aide des sections coniques ait été connue depuis près d'un siècle (voir Rashed, Roshdi, Les mathématiques infinitésimales du IXe au XIe siècle, vol. III [Londres, 2000], pp. 323–503Google Scholar & 647–898).

75 Sezgin, Geschichte des arabischen Schrifttums, vol. V, p. 109. Voir également Suter, “Die Mathematiker und Astronomen der Araber,” p. 96, et “Nachträge und Berichtigungen,” p. 170; et Brockelmann, C., Geschichte der arabischen Litteratur, Supplementband I (Leiden, 1937), p. 860.Google Scholar

76 Plooij, Euclid's Conception of Ratio, pp. 15–47.

77 Voir Trois commentaires arabes, vol. 2, pp. 67–89.

78 Plooij, Euclid's Conception of Ratio, p. 67.

15 أخرج: خرج

6 غموضاً: غموض / أتعاباً: اتعاب

15 المقدارين: المقداين / عدّه: عدة – 16 المقداران: المقداراين

13 المقدمين: المقدمتين

10 شيء: شيا – 11 الأجزاء التي: الاحزالتي – 21 أو (الثانية): ولا / ولا إن: ولان

6 مستغنىً: مستغن – 12-11 مساويةً للمقدار الأول: متساوية المقدار الاول

6 الثالث: الرابع – 9 للجيم: الجيم – 11 ز: زه – 12 ﺟ: د

6 ﺟ: جد – 18 واحد (الأولى): مكررةً – 20 أن (الأولى): الي

1 أضعافٌ: اضعافا – 4 ذو: ذا – 5 ونزيد: وتزيد – 6 أضعاف (الأولى): اضعافا

6 مساوٍ: مساويا

1 أضعافٌ: اضعافا / للأخرى: للاخرين – 4 لم يُجزّأ: لم يجز – 11 مقام: اضعاف – 12 الأخر: للاخر / يظهر في الأجزاء: يظهر فى الاخر يظهر فى الاجزا – 20 للثاني: للثالث – 21 فأضعاف: واضعاف

3 لإحداهما: لاحدهما – 11 أضعاف (الأولى): اجزا – 15 أضعافٌ: اضعافا – 16 د: حـ

17 وصرفوها: وصرفها – 18 وضاعفوا الأجزاء: وضاعفوالاجزا

1 ونقدّم لذلك: وتقدم كذلك – 12 ز: ﺟ – 16 ه؟ح: دح – 18 منها: منهما

4-3 ا؟ف أكبر من ا؟ب: اب اكبر من ا؟ف – 4 د؟ح: حح – 5 ا؟ف أكبر من ا؟ب: اب اكبر من اف

2 مما: ممن

1 د: ه – 8 الثالث: الاول

4 تخفيفه: تحقيقه – 7 للثاني: للثالث

5 عشرة: عشر – 6 الاثنتي عشرة: الاثنى عشر – 10 الأربع عشرة: الاربعة عشر