356 - THÉORIE DES NOMBRES. – Mémoire sur les ratines des équations algébriques à coefficients entiers, et sur les polynômes radicaux

Summary

En recherchant les propriétés que posscdent les racines d'équations algébriques à coefficients entiers, je me suis trouvé conduit à divers résultats qui m'ont paru dignes de remarque, et que je vais inrliqucr en peu de mots.

§ I. – Sur les équations algébriques à coefficients entiers.

Soit φ(x) une fonction entière de x du degré m, en sorte qu'on ait

Si les valeurs numériques des coefficients

se réduisent à des nombres entiers, l'équation

sera ce que j'appellerai une équation algébrique a coefficients entiers.

Si

représente une seconde équation de meme espèce, qui ait des raciness communes avec la première, il suffira de chercher le plus grand commun diviseur algébrique entre les deux polynômes φ(x), χ(x), Puis d'égaler ce plus grand commun diviseur à zéro, pour obtenir une troisième équation

qui offrira toutes les racines communes aux deux premieres. Cette troisième équation sera elle-même a coefficients entiers, si, avant d'eRectiier chacune des divisions partielles que réclame la rcherche dii plus grand commun diviseur, on a eu soin de multiplier chaquo dividende par un facteur entier, convenablement choisi. En conséquence, on peut énoneer la proposition suivante :

Théoréme I. – Si deux équations algébriques et à coefficients entiers off rent des racines communes, celles-ci sont, en même temps, les raciness dune troisième équation algébrique et à coefficients entiers.