Le but de cet article est de démontrer une version locale de certains résultats
classiques concernant l'espace de Hardy H1 et l'action sur cet espace des opérateurs
de Calderón–Zygmund. Plus précisément, voici deux exemples de questions étudiées.
La première concerne l'invariance de l'espace H1 relativement aux fonctions
maximales utilisées pour le définir. On sait que, si une fonction f est telle qu'une
certaine fonction maximale raisonnable M1f soit intégrable dans ℝn, alors toute autre
fonction maximale raisonnable M2f est également intégrable dans ℝn. Si on suppose
seulement que M1f est intégrable sur une boule de ℝn, que peut-on dire de
l'intégrabilitéde M2f?
La seconde concerne l'action sur l'espace H1 des opérateurs de Calderón–Zygmund.
Un résultat classique de cette théorie affirme que, si T est un opérateur de
Calderón–Zygmund (respectivement un opérateur de Calderón–Zygmund vérifiant la
condition T*() = 0) et si f ∈ H1, alors
T(f) ∈ L1 (respectivement T(f) ∈ H1).
Que peut-on dire de T(f), si on suppose seulement qu'une certaine fonction maximale
associée à f est intégrable sur une boule de ℝn?
La deuxième question s'est naturellement posée au cours de notre travail [3], dans
lequel nous avons eu besoin de certains résultats de la Section 4 du présent article. A
notre connaissance, ces résultats ne se trouvent pas dans la littérature et pour les
obtenir, on doit “localiser” convenablement les méthodes utilisées classiquement pour
établir les résultats globaux correspondants; nous en rappelons les grandes lignes, qui
fixent le plan de notre article. La description de l'action des opérateurs de
Calderón–Zygmund sur H1 est basée sur la décomposition atomique de cet espace;
de façon un peu similaire, notre réponse à la deuxième question passe par le résultat
de localisation de la Section 3 qui est, sans être aussi précis, dans l'esprit des
décompositions atomiques. A son tour, la décomposition atomique de H1 est une
conséquence du fait que cet espace puisse être défini au moyen de “grandes” fonctions
maximales; parallèlement, notre résultat de localisation de la Section 3 utilise une
version locale de ce résultat, qui fait l'objet de la Section 2.
