Problème de l'entropie minimale pour les métriques de Finsler

Abstract

Sur tout espace riemannien compact, localement symétrique de type non compact et de rang au moins égal à deux, nous construisons explicitement une métrique de Finsler donnant à l'espace le même volume que la métrique localement symétrique mais dont l'entropie volumique est strictement inférieure à l'entropie volumique de cette dernière. De plus, cette métrique de Finsler est l'unique minimum de l'entropie volumique parmi les métriques de Finsler $G$-invariantes normalisées par le volume de la variété.

D'autre part, concernant le rang un, nous prouvons que les métriques hyperboliques réelles sont des points critiques de l'entropie topologique parmi les métriques de Finsler sur une variété compacte, et ce, en normalisant aussi bien par le volume de la variété en dimension quelconque que par le volume de Liouville des fibrés unitaires en dimension deux.